Quais conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial 𝕜 ? Justifique sua resposta.
(a) Os polinômios da forma com 𝕜.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se um conjunto específico de polinômios é um subespaço do espaço vetorial 𝕜. O subespaço em questão é formado por todos os polinômios da forma , onde pertence ao corpo 𝕜. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os requisitos para um subespaço: ele deve conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro requisito: o vetor zero está no conjunto?
O vetor zero no espaço vetorial 𝕜 é o polinômio . Podemos obter isso escolhendo na expressão . Assim, . Portanto, o vetor zero está no conjunto.

Passo 3

Segundo requisito: o conjunto é fechado sob adição?
Vamos pegar dois polinômios quaisquer do conjunto: e , onde 𝕜. A soma desses polinômios é:
Como também pertence a 𝕜 (já que 𝕜 é um corpo), a soma está novamente no conjunto. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.

Passo 4

Terceiro requisito: o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar?
Vamos considerar um polinômio do conjunto e um escalar 𝕜. A multiplicação por esse escalar é:
Como também pertence a 𝕜, o polinômio resultante está no conjunto. Portanto, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, os polinômios da forma com 𝕜 formam um subespaço do espaço vetorial . Isso porque o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar.

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(b) Os polinômios da forma com 𝕜.
Seja o conjunto de pontos de no exterior e na borda do círculo unitário. Ou seja, . Obtenha um exemplo específico - dois vetores ou um vetor e um escalar - para mostrar que não é um subespaço de .
Prove que .
Defina dimensão e dê um exemplo de espaço vetorial com dimensão igual a 2024.