Quais conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial k[x]𝕜 ? Justifique sua resposta.
(a) Os polinômios da forma p(x)=a x^3 com a in k𝕜.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se um conjunto específico de polinômios é um subespaço do espaço vetorial k[x]𝕜. O subespaço em questão é formado por todos os polinômios da forma p(x) = a x^3, onde a pertence ao corpo k𝕜. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os requisitos para um subespaço: ele deve conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro requisito: o vetor zero está no conjunto?
O vetor zero no espaço vetorial k[x]𝕜 é o polinômio p(x) = 0. Podemos obter isso escolhendo a = 0 na expressão p(x) = a x^3. Assim, p(x) = 0 cdot x^3 = 0. Portanto, o vetor zero está no conjunto.

Passo 3

Segundo requisito: o conjunto é fechado sob adição?
Vamos pegar dois polinômios quaisquer do conjunto: p(x) = a x^3 e q(x) = b x^3, onde a, b in k𝕜. A soma desses polinômios é:
p(x) + q(x) = a x^3 + b x^3 = (a + b) x^3
Como a + b também pertence a k𝕜 (já que k𝕜 é um corpo), a soma (a + b) x^3 está novamente no conjunto. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.

Passo 4

Terceiro requisito: o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar?
Vamos considerar um polinômio p(x) = a x^3 do conjunto e um escalar c in k𝕜. A multiplicação por esse escalar é:
c cdot p(x) = c cdot (a x^3) = (c a) x^3
Como c a também pertence a k𝕜, o polinômio resultante (c a) x^3 está no conjunto. Portanto, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, os polinômios da forma p(x) = a x^3 com a in k𝕜 formam um subespaço do espaço vetorial . Isso porque o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar.

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