Quais conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial
? Justifique sua resposta.
(a) Os polinômios da forma
com
.
(a) Os polinômios da forma
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se um conjunto específico de polinômios é um subespaço do espaço vetorial
. O subespaço em questão é formado por todos os polinômios da forma
, onde
pertence ao corpo
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os requisitos para um subespaço: ele deve conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro requisito: o vetor zero está no conjunto?
O vetor zero no espaço vetorial é o polinômio
. Podemos obter isso escolhendo
na expressão
. Assim,
. Portanto, o vetor zero está no conjunto.
O vetor zero no espaço vetorial
Passo 3
Segundo requisito: o conjunto é fechado sob adição?
Vamos pegar dois polinômios quaisquer do conjunto: e
, onde
. A soma desses polinômios é:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer do conjunto:
Como
também pertence a
(já que
é um corpo), a soma
está novamente no conjunto. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 4
Terceiro requisito: o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar?
Vamos considerar um polinômio do conjunto e um escalar
. A multiplicação por esse escalar é:
Vamos considerar um polinômio
Como
também pertence a
, o polinômio resultante
está no conjunto. Portanto, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, os polinômios da forma
com
formam um subespaço do espaço vetorial . Isso porque o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar.
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Quais conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial
? Justifique sua resposta.
(b) Os polinômios da forma com
.
(b) Os polinômios da forma
Seja
o conjunto de pontos de
no exterior e na borda do círculo unitário. Ou seja,
. Obtenha um exemplo específico - dois vetores ou um vetor e um escalar - para mostrar que
não é um subespaço de
.
Prove que
.
Defina dimensão e dê um exemplo de espaço vetorial com dimensão igual a 2024.