Prove que |u|>0 Leftrightarrow u=0.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para provar que o módulo de um vetor |u| sendo maior que zero é equivalente ao vetor u ser o vetor nulo, ou seja, u = 0. Estamos trabalhando com conceitos de álgebra vetorial, especificamente com norma de vetores. Para resolver isso, vamos entender o que é a norma de um vetor e como ela se relaciona com o vetor ser nulo ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a norma de um vetor. A norma de um vetor u, denotada por |u|, é uma medida do “tamanho” ou “magnitude” desse vetor. Se temos u = 0, que é o vetor nulo (todos os componentes são zero), então sua norma é zero, ou seja, |u| = 0.

Passo 3

Agora, analisando a afirmação que precisamos provar: |u| > 0 Leftrightarrow u = 0. Vamos dividir isso em duas partes: a implicação para a frente e para trás.
Parte 1: Se |u| > 0, então u = 0.
Isso significa que se a norma do vetor for maior que zero, o vetor deve ser o vetor nulo. Mas, conforme lembramos, se o vetor for nulo, sua norma é zero. Portanto, se a norma é maior que zero, o vetor não pode ser nulo. Essa parte da afirmação está invertida.
Parte 2: Se u = 0, então |u| > 0.
Aqui, estamos dizendo que se o vetor é nulo, sua norma é maior que zero. Mas sabemos que a norma do vetor nulo é exatamente zero.

Passo 4

Percebeu? Há uma contradição. A afirmação correta no contexto de normas de vetores é:
|u| = 0 Leftrightarrow u = 0
Isto significa que a norma de um vetor é zero se e somente se o vetor for o vetor nulo.

Passo 5

Então, corrigindo a afirmação inicial, podemos concluir que se a norma de um vetor é maior que zero, então o vetor não é nulo, e se o vetor é nulo, sua norma é zero.

Resposta

A afirmação correta é |u| = 0 Leftrightarrow u = 0. Portanto, a norma de um vetor é zero se e somente se o vetor for o vetor nulo.

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