Prove que
.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para provar que o módulo de um vetor
sendo maior que zero é equivalente ao vetor
ser o vetor nulo, ou seja,
. Estamos trabalhando com conceitos de álgebra vetorial, especificamente com norma de vetores. Para resolver isso, vamos entender o que é a norma de um vetor e como ela se relaciona com o vetor ser nulo ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a norma de um vetor. A norma de um vetor
, denotada por
, é uma medida do “tamanho” ou “magnitude” desse vetor. Se temos
, que é o vetor nulo (todos os componentes são zero), então sua norma é zero, ou seja,
.
Passo 3
Agora, analisando a afirmação que precisamos provar:
. Vamos dividir isso em duas partes: a implicação para a frente e para trás.
Parte 1: Se
, então
.
Isso significa que se a norma do vetor for maior que zero, o vetor deve ser o vetor nulo. Mas, conforme lembramos, se o vetor for nulo, sua norma é zero. Portanto, se a norma é maior que zero, o vetor não pode ser nulo. Essa parte da afirmação está invertida.
Parte 2: Se
, então
.
Aqui, estamos dizendo que se o vetor é nulo, sua norma é maior que zero. Mas sabemos que a norma do vetor nulo é exatamente zero.
Passo 4
Percebeu? Há uma contradição. A afirmação correta no contexto de normas de vetores é:
Isto significa que a norma de um vetor é zero se e somente se o vetor for o vetor nulo.
Passo 5
Então, corrigindo a afirmação inicial, podemos concluir que se a norma de um vetor é maior que zero, então o vetor não é nulo, e se o vetor é nulo, sua norma é zero.
Resposta
A afirmação correta é
. Portanto, a norma de um vetor é zero se e somente se o vetor for o vetor nulo.
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Prove que
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