Prove que .

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para provar que o módulo de um vetor sendo maior que zero é equivalente ao vetor ser o vetor nulo, ou seja, . Estamos trabalhando com conceitos de álgebra vetorial, especificamente com norma de vetores. Para resolver isso, vamos entender o que é a norma de um vetor e como ela se relaciona com o vetor ser nulo ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a norma de um vetor. A norma de um vetor , denotada por , é uma medida do “tamanho” ou “magnitude” desse vetor. Se temos , que é o vetor nulo (todos os componentes são zero), então sua norma é zero, ou seja, .

Passo 3

Agora, analisando a afirmação que precisamos provar: . Vamos dividir isso em duas partes: a implicação para a frente e para trás.
Parte 1: Se , então .
Isso significa que se a norma do vetor for maior que zero, o vetor deve ser o vetor nulo. Mas, conforme lembramos, se o vetor for nulo, sua norma é zero. Portanto, se a norma é maior que zero, o vetor não pode ser nulo. Essa parte da afirmação está invertida.
Parte 2: Se , então .
Aqui, estamos dizendo que se o vetor é nulo, sua norma é maior que zero. Mas sabemos que a norma do vetor nulo é exatamente zero.

Passo 4

Percebeu? Há uma contradição. A afirmação correta no contexto de normas de vetores é:
Isto significa que a norma de um vetor é zero se e somente se o vetor for o vetor nulo.

Passo 5

Então, corrigindo a afirmação inicial, podemos concluir que se a norma de um vetor é maior que zero, então o vetor não é nulo, e se o vetor é nulo, sua norma é zero.

Resposta

A afirmação correta é . Portanto, a norma de um vetor é zero se e somente se o vetor for o vetor nulo.

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Prove que .