Seja
o conjunto de pontos de
no exterior e na borda do círculo unitário. Ou seja,
. Obtenha um exemplo específico - dois vetores ou um vetor e um escalar - para mostrar que
não é um subespaço de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o conjunto
, que é todo ponto no plano
fora ou na borda do círculo unitário (
), não é um subespaço de
. Para isso, precisamos encontrar dois vetores em
cuja soma não está em
, ou então um vetor em
e um escalar qualquer tal que a multiplicação do vetor pelo escalar não esteja em
. Vamos usar conceitos de álgebra linear e espaços vetoriais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço. Um subespaço de
precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero:
. - Fechado para adição: Se
e estão no subespaço, então também está. - Fechado para multiplicação por escalar: Se
está no subespaço e é um número real, então também está.
Vamos verificar essas condições para o conjunto
.
Passo 3
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. Calculando:
Então,
não está em
. Já que o vetor zero não pertence a
, ele não pode ser um subespaço de
. Mas vamos continuar para entender melhor.
Passo 4
Mesmo sabendo que o vetor zero não está em
, vamos verificar outra condição: a fechadura para adição. Vamos escolher dois vetores que estão em
e ver se a soma deles também está em
.
Escolha os vetores:
Vamos verificar se estão em
:
Para :
Para
Para
:
Passo 5
Agora, somamos
e
:
Mas como vimos antes,
não está em
porque
. Isso significa que a soma de dois vetores de
não está mais em
.
Passo 6
Com isso, já conseguimos mostrar que
não é fechado para adição, ou seja, não satisfaz uma das condições necessárias para ser um subespaço. Portanto,
não é um subespaço de
.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço de
porque a soma de dois vetores em
pode não pertencer a
, conforme exemplificado pelos vetores
e
cuja soma é
, que não está em
.
Exercícios relacionados
Mostre que
é um conjunto gerador de
.
Sendo
e
, calcular
.
Quais conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial
? Justifique sua resposta.
(b) Os polinômios da forma com
.
(b) Os polinômios da forma
Quais conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial
? Justifique sua resposta.
(a) Os polinômios da forma com
.
(a) Os polinômios da forma