Seja H o conjunto de pontos de R^2 no exterior e na borda do círculo unitário. Ou seja, H=(x, y) in R^2: x^2+y^2 >= 1. Obtenha um exemplo específico - dois vetores ou um vetor e um escalar - para mostrar que H não é um subespaço de R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o conjunto , que é todo ponto no plano fora ou na borda do círculo unitário ( ), não é um subespaço de . Para isso, precisamos encontrar dois vetores em cuja soma não está em , ou então um vetor em e um escalar qualquer tal que a multiplicação do vetor pelo escalar não esteja em . Vamos usar conceitos de álgebra linear e espaços vetoriais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço. Um subespaço de precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: .
  2. Fechado para adição: Se e estão no subespaço, então também está.
  3. Fechado para multiplicação por escalar: Se está no subespaço e é um número real, então também está.
Vamos verificar essas condições para o conjunto .

Passo 3

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em 0^2 + 0^2 = 0 < 1 . Calculando:
Então, não está em . Já que o vetor zero não pertence a , ele não pode ser um subespaço de . Mas vamos continuar para entender melhor.

Passo 4

Mesmo sabendo que o vetor zero não está em u = (1, 0) , vamos verificar outra condição: a fechadura para adição. Vamos escolher dois vetores que estão em v = (-1, 0) e ver se a soma deles também está em 1^2 + 0^2 = 1 >= 1 .
Escolha os vetores:
(-1)^2 + 0^2 = 1 >= 1
Vamos verificar se estão em :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, somamos u + v = (1 + (-1), 0 + 0) = (0, 0) e :
Mas como vimos antes, não está em porque . Isso significa que a soma de dois vetores de não está mais em .

Passo 6

Com isso, já conseguimos mostrar que não é fechado para adição, ou seja, não satisfaz uma das condições necessárias para ser um subespaço. Portanto, não é um subespaço de .

Resposta

O conjunto não é um subespaço de porque a soma de dois vetores em pode não pertencer a , conforme exemplificado pelos vetores e cuja soma é , que não está em .

Exercícios relacionados