Mostre que B é um conjunto gerador de P2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto é um conjunto gerador de . Aqui, estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto gerador e como podemos expressar qualquer polinômio desse espaço como combinação linear dos elementos de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é p(x) = a0 + a1x + a2x^2 . Esse é o conjunto de todos os polinômios da forma:
onde são números reais.

Passo 3

Agora, um conjunto gerador é um conjunto de elementos de p(x) = c1b1 + c2b2 + c3b3 tal que qualquer polinômio desse espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses elementos. Ou seja, se , então para qualquer , existem tais que:

Passo 4

Vamos supor que p(x) = c1 cdot 1 + c2 cdot x + c3 cdot x^2 . Agora, queremos mostrar que qualquer polinômio pode ser escrito como:
Aqui, os coeficientes podem ser diretamente iguais a , respectivamente.

Passo 5

Então, para qualquer polinômio p(x) = a0 cdot 1 + a1 cdot x + a2 cdot x^2 de , podemos escolher , e , garantindo que:
Isso mostra que é uma combinação linear dos elementos de .

Resposta

Portanto, é de fato um conjunto gerador de , já que qualquer polinômio de grau no máximo 2 pode ser expresso como uma combinação linear desses elementos.

Exercícios relacionados