Mostre que é um conjunto gerador de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto é um conjunto gerador de . Aqui, estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto gerador e como podemos expressar qualquer polinômio desse espaço como combinação linear dos elementos de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é . Esse é o conjunto de todos os polinômios da forma:
onde são números reais.

Passo 3

Agora, um conjunto gerador é um conjunto de elementos de tal que qualquer polinômio desse espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses elementos. Ou seja, se , então para qualquer , existem tais que:

Passo 4

Vamos supor que . Agora, queremos mostrar que qualquer polinômio pode ser escrito como:
Aqui, os coeficientes podem ser diretamente iguais a , respectivamente.

Passo 5

Então, para qualquer polinômio de , podemos escolher , e , garantindo que:
Isso mostra que é uma combinação linear dos elementos de .

Resposta

Portanto, é de fato um conjunto gerador de , já que qualquer polinômio de grau no máximo 2 pode ser expresso como uma combinação linear desses elementos.

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Calcule a partir das divisões sucessivas, teoremas ou proposições trabalhadas em aula ( MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM)
A.
Seja o conjunto de pontos de no exterior e na borda do círculo unitário. Ou seja, . Obtenha um exemplo específico - dois vetores ou um vetor e um escalar - para mostrar que não é um subespaço de .
Quais conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial 𝕜 ? Justifique sua resposta.
(b) Os polinômios da forma com 𝕜.