Mostre que
é um conjunto gerador de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é um conjunto gerador de
. Aqui, estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto gerador e como podemos expressar qualquer polinômio desse espaço como combinação linear dos elementos de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é
. Esse é o conjunto de todos os polinômios da forma:
onde
são números reais.
Passo 3
Agora, um conjunto gerador é um conjunto de elementos de
tal que qualquer polinômio desse espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses elementos. Ou seja, se
, então para qualquer
, existem
tais que:
Passo 4
Vamos supor que
. Agora, queremos mostrar que qualquer polinômio
pode ser escrito como:
Aqui, os coeficientes
podem ser diretamente iguais a
, respectivamente.
Passo 5
Então, para qualquer polinômio
de
, podemos escolher
,
e
, garantindo que:
Isso mostra que
é uma combinação linear dos elementos de
.
Resposta
Portanto,
é de fato um conjunto gerador de
, já que qualquer polinômio de grau no máximo 2 pode ser expresso como uma combinação linear desses elementos.