Quais conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial k[x]𝕜 ? Justifique sua resposta.
© Os polinômios de grau menor ou igual que n com coeficientes em Z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente descobrir quais conjuntos são subespaços do espaço vetorial k[x]𝕜. No caso específico do item ©, estamos olhando para os polinômios de grau menor ou igual a n com coeficientes em Z. Vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se esse conjunto atende aos critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto W de um espaço vetorial V é chamado de subespaço vetorial se:
  1. Contém o vetor zero: ou seja, o polinômio zero está em W.
  2. Fechado sob adição: se p(x) e q(x) estão em W, então p(x) + q(x) também está em W.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: se p(x) está em W e c é um escalar (um elemento de k𝕜), então c cdot p(x) também está em W.
Vamos verificar esses três pontos para o conjunto dos polinômios de grau ≤ n com coeficientes em Z.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O polinômio zero tem todos os coeficientes iguais a zero, que são inteiros. Além disso, seu grau é indefinido ou pode ser considerado menor ou igual a qualquer n. Então, o polinômio zero está no conjunto. Perfeito!
2. Fechado sob adição:
Se pegarmos dois polinômios no conjunto, digamos p(x) e q(x), ambos de grau ≤ n e com coeficientes inteiros, quando somamos p(x) + q(x), o grau não aumenta mais que n e os coeficientes continuam sendo inteiros (já que a soma de inteiros é inteiro). Então, está fechado sob adição. Demais!

Passo 4

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Aqui é onde a coisa complica. Vamos lembrar que escalar significa multiplicar por qualquer elemento do campo k𝕜. Se k𝕜 for, por exemplo, os números reais R, podemos multiplicar nosso polinômio por qualquer número real.
Imagine que temos um polinômio p(x) no conjunto, com coeficientes inteiros, e multiplicamos esse polinômio por um escalar real c. O resultado seria um polinômio cujos coeficientes são c vezes os coeficientes inteiros de p(x). Aí está o problema: se c não for um número inteiro, os coeficientes resultantes não serão mais inteiros. Por exemplo, se c = 0.5, multiplicaríamos um coeficiente inteiro por 0.5 e obteríamos um número não inteiro.
Isso significa que o conjunto não está fechado sob multiplicação por escalar, já que multiplicar por um escalar fora de Z nos tira do conjunto.

Resposta

Então, concluindo, os polinômios de grau menor ou igual a n com coeficientes em Z não são um subespaço do espaço vetorial k[x]𝕜, porque não satisfazem a condição de serem fechados sob multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados

Ex. 6. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
(m) 1x+2+1x-2;
Encontre a transformação linear T: R^3 R^3 tal que
T(1,0,0)=(0,0,1), T(1,0,1)=(1,1,1) e T(0,-1,1)=(1,1,0)
Descubra a transformação linear T: R^2 P3(R) tal que
T(1,1)=x^2-1 e T(1,-1)=x^3+1
Obtenha a transformação linear T: R^3 P2(R) tal que
T(1,0,0)=1-x, T(-1,1,0)=1+x e T(2,-1,2)=1-x^2