Quais conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial
? Justifique sua resposta.
© Os polinômios de grau menor ou igual que
com coeficientes em
.
© Os polinômios de grau menor ou igual que
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente descobrir quais conjuntos são subespaços do espaço vetorial
. No caso específico do item ©, estamos olhando para os polinômios de grau menor ou igual a
com coeficientes em
. Vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se esse conjunto atende aos critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é chamado de subespaço vetorial se:
- Contém o vetor zero: ou seja, o polinômio zero está em
. - Fechado sob adição: se
e estão em , então também está em . - Fechado sob multiplicação por escalar: se
está em e é um escalar (um elemento de ), então também está em .
Vamos verificar esses três pontos para o conjunto dos polinômios de grau ≤
com coeficientes em
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O polinômio zero tem todos os coeficientes iguais a zero, que são inteiros. Além disso, seu grau é indefinido ou pode ser considerado menor ou igual a qualquer
. Então, o polinômio zero está no conjunto. Perfeito!
2. Fechado sob adição:
Se pegarmos dois polinômios no conjunto, digamos
e
, ambos de grau ≤
e com coeficientes inteiros, quando somamos
, o grau não aumenta mais que
e os coeficientes continuam sendo inteiros (já que a soma de inteiros é inteiro). Então, está fechado sob adição. Demais!
Passo 4
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Aqui é onde a coisa complica. Vamos lembrar que escalar significa multiplicar por qualquer elemento do campo
. Se
for, por exemplo, os números reais
, podemos multiplicar nosso polinômio por qualquer número real.
Imagine que temos um polinômio
no conjunto, com coeficientes inteiros, e multiplicamos esse polinômio por um escalar real
. O resultado seria um polinômio cujos coeficientes são
vezes os coeficientes inteiros de
. Aí está o problema: se
não for um número inteiro, os coeficientes resultantes não serão mais inteiros. Por exemplo, se
, multiplicaríamos um coeficiente inteiro por 0.5 e obteríamos um número não inteiro.
Isso significa que o conjunto não está fechado sob multiplicação por escalar, já que multiplicar por um escalar fora de
nos tira do conjunto.
Resposta
Então, concluindo, os polinômios de grau menor ou igual a
com coeficientes em
não são um subespaço do espaço vetorial
, porque não satisfazem a condição de serem fechados sob multiplicação por escalar.
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(m) ;
(m)
Encontre a transformação linear
tal que
Descubra a transformação linear
tal que
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tal que