Descubra a transformação linear T: R^2 P3(R) tal que
T(1,1)=x^2-1 e T(1,-1)=x^3+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a transformação linear T(1,1) = x^2 - 1 e T(1,-1) = x^3 + 1 sabendo que:
Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e como elas agem nas bases dos espaços envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é totalmente determinada por como ela age em uma base do espaço de partida. No caso, nosso espaço de partida é , que tem a base padrão . Vamos chamar esses vetores de e .

Passo 3

Sabemos que T(a e1 + b e2) = a T(e1) + b T(e2) é linear, então:
Nosso objetivo é descobrir e .

Passo 4

Vamos usar as informações que temos:
T(1,1) = T(e1 + e2) = T(e1) + T(e2) = x^2 - 1 (1)
T(1,-1) = T(e1 - e2) = T(e1) - T(e2) = x^3 + 1 (2)
Agora temos um sistema de duas equações para descobrir e .

Passo 5

Vamos somar as duas equações para eliminar (T(e1) + T(e2)) + (T(e1) - T(e2)) = (x^2 - 1) + (x^3 + 1) :
2 T(e1) = x^3 + x^2
T(e1) = x^3 + x^22

Passo 6

Agora, vamos subtrair a equação (2) da equação (1) para encontrar (T(e1) + T(e2)) - (T(e1) - T(e2)) = (x^2 - 1) - (x^3 + 1) :
2 T(e2) = -x^3 + x^2 - 2
T(e2) = -x^3 + x^2 - 22

Passo 7

Com T(a, b) = a T(e1) + b T(e2) = a (x^3 + x^22) + b (-x^3 + x^2 - 22) e T(a, b) = a(x^3 + x^2) + b(-x^3 + x^2 - 2)2 conhecidos, podemos definir a transformação linear T(a, b) = (a - b)x^3 + (a + b)x^2 - 2b2 para qualquer vetor em :
Podemos simplificar isso:

Resposta

A transformação linear T(a, b) = (a - b)x^3 + (a + b)x^2 - 2b2 é dada por:

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