Descubra a transformação linear
tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a transformação linear
sabendo que:
Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares e como elas agem nas bases dos espaços envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é totalmente determinada por como ela age em uma base do espaço de partida. No caso, nosso espaço de partida é
, que tem a base padrão
. Vamos chamar esses vetores de
e
.
Passo 3
Sabemos que
é linear, então:
Nosso objetivo é descobrir
e
.
Passo 4
Vamos usar as informações que temos:
Agora temos um sistema de duas equações para descobrir
e
.
Passo 5
Vamos somar as duas equações para eliminar
:
Passo 6
Agora, vamos subtrair a equação (2) da equação (1) para encontrar
:
Passo 7
Com
e
conhecidos, podemos definir a transformação linear
para qualquer vetor
em
:
Podemos simplificar isso:
Resposta
A transformação linear
é dada por: