Encontre a transformação linear T: R^3 R^3 tal que
T(1,0,0)=(0,0,1), T(1,0,1)=(1,1,1) e T(0,-1,1)=(1,1,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma transformação linear . Basicamente, uma transformação linear é como uma função que pega vetores de e os transforma em outros vetores de seguindo certas regras. Para resolver isso, vamos montar uma matriz que representa essa transformação e usar as informações dadas para encontrar seus elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz A = a & b & c d & e & f g & h & k de tamanho T(x, y, z) = A cdot x y z = a x + b y + c z d x + e y + f z g x + h y + k z :
Assim, para qualquer vetor , a transformação é dada por:

Passo 3

Vamos usar as informações dadas para montar equações. A gente sabe que:
Vamos aplicar essas transformações usando a matriz .

Passo 4

Primeiro, aplicando A cdot 1 0 0 = a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 0 d cdot 1 + e cdot 0 + f cdot 0 g cdot 1 + h cdot 0 + k cdot 0 = a d g = 0 0 1 :
a = 0, d = 0, g = 1
Isso nos dá:

Passo 5

Agora, aplicando A cdot 1 0 1 = a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 1 d cdot 1 + e cdot 0 + f cdot 1 g cdot 1 + h cdot 0 + k cdot 1 = a + c d + f g + k = 1 1 1 :
0 + c = 1 Rightarrow c = 1 0 + f = 1 Rightarrow f = 1 1 + k = 1 Rightarrow k = 0
Como já sabemos que e e , substituindo:

Passo 6

Por último, aplicando A cdot 0 -1 1 = a cdot 0 + b cdot (-1) + c cdot 1 d cdot 0 + e cdot (-1) + f cdot 1 g cdot 0 + h cdot (-1) + k cdot 1 = -b + c -e + f -h + k = 1 1 0 :
-b + 1 = 1 Rightarrow -b = 0 Rightarrow b = 0 -e + 1 = 1 Rightarrow -e = 0 Rightarrow e = 0 -h + 0 = 0 Rightarrow -h = 0 Rightarrow h = 0
Substituindo os valores que já encontramos ( , , ):

Resposta

Com tudo resolvido, a matriz que representa a transformação linear A = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 é:
T(x, y, z) = (z, z, x)
Então, a transformação linear é dada por:

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© Os polinômios de grau menor ou igual que n com coeficientes em Z.