Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma transformação linear. Basicamente, uma transformação linear é como uma função que pega vetores de e os transforma em outros vetores de seguindo certas regras. Para resolver isso, vamos montar uma matriz que representa essa transformação e usar as informações dadas para encontrar seus elementos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz de tamanho :
Assim, para qualquer vetor , a transformação é dada por:
Passo 3
Vamos usar as informações dadas para montar equações. A gente sabe que:
Vamos aplicar essas transformações usando a matriz .
Passo 4
Primeiro, aplicando A cdot 1 0 0 = a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 0 d cdot 1 + e cdot 0 + f cdot 0 g cdot 1 + h cdot 0 + k cdot 0 = a d g = 0 0 1 :
a = 0, d = 0, g = 1
Isso nos dá:
Passo 5
Agora, aplicando A cdot 1 0 1 = a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 1 d cdot 1 + e cdot 0 + f cdot 1 g cdot 1 + h cdot 0 + k cdot 1 = a + c d + f g + k = 1 1 1 :
0 + c = 1 Rightarrow c = 1 0 + f = 1 Rightarrow f = 1 1 + k = 1 Rightarrow k = 0
Como já sabemos que e e , substituindo:
Passo 6
Por último, aplicando A cdot 0 -1 1 = a cdot 0 + b cdot (-1) + c cdot 1 d cdot 0 + e cdot (-1) + f cdot 1 g cdot 0 + h cdot (-1) + k cdot 1 = -b + c -e + f -h + k = 1 1 0 :