Obtenha a transformação linear
tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma transformação linear
, que basicamente é uma função que pega vetores de 3 dimensões e transforma em polinômios de grau até 2. A gente recebe três pares de entrada e saída dessa transformação:
Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes que definem
.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a transformação
pode ser escrita da seguinte forma:
Mas como o alvo da transformação é
, que são polinômios do segundo grau, vamos ajustar nossa expressão para incluir termos de
e
:
Na verdade, para simplificar, vamos assumir que cada componente de
pode influenciar cada termo do polinômio. Então, podemos reescrever
como:
Passo 3
Agora, vamos usar as condições dadas para montar um sistema de equações. Primeiro, aplicamos
nos vetores fornecidos:
-
:
Que simplifica para:
-
:
Simplificando:
-
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos igualar os coeficientes de potências iguais de
em cada equação.
Para a primeira equação
:
- Constante:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
:
Para a segunda equação
:
- Constante:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
:
Substituindo
,
, e
:
-
=> -
=> -
=>
Para a terceira equação
:
- Constante:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
:
Substituindo
,
,
,
,
, e
:
-
=> => => -
=> => => -
=> =>
Passo 5
Agora que encontramos todos os coeficientes, vamos reescrever a transformação
com esses valores:
Substituindo:
Simplificando cada termo:
Distribuindo e combinando termos semelhantes:
Resposta
A transformação linear
é dada por:
Exercícios relacionados
Descubra a transformação linear
tal que
Quais conjuntos abaixo são subespaços do espaço vetorial
? Justifique sua resposta.
© Os polinômios de grau menor ou igual que com coeficientes em
.
© Os polinômios de grau menor ou igual que
Para que valores de
os vetores
geram um subespaço de dimensão 3 ?
Ex. 6. Simplifique as expressões algébricas abaixo:
® .
®