Obtenha a transformação linear T: R^3 P2(R) tal que
T(1,0,0)=1-x, T(-1,1,0)=1+x e T(2,-1,2)=1-x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar uma transformação linear T(1,0,0) = 1 - x, T(-1,1,0) = 1 + x, T(2,-1,2) = 1 - x^2 , que basicamente é uma função que pega vetores de 3 dimensões e transforma em polinômios de grau até 2. A gente recebe três pares de entrada e saída dessa transformação:
Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes que definem .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a transformação T(x, y, z) = a x + b y + c z + d pode ser escrita da seguinte forma:
T(x, y, z) = (a x + b y + c z + d) + (e x + f y + g z) x + h x^2
Mas como o alvo da transformação é T(x, y, z) = (a x + b y + c z) + (d x + e y + f z) x + (g x + h y + i z) x^2 , que são polinômios do segundo grau, vamos ajustar nossa expressão para incluir termos de e :
Na verdade, para simplificar, vamos assumir que cada componente de pode influenciar cada termo do polinômio. Então, podemos reescrever como:

Passo 3

Agora, vamos usar as condições dadas para montar um sistema de equações. Primeiro, aplicamos (a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 0) + (d cdot 1 + e cdot 0 + f cdot 0) x + (g cdot 1 + h cdot 0 + i cdot 0) x^2 = 1 - x nos vetores fornecidos:
  1. a + d x + g x^2 = 1 - x :
(a cdot (-1) + b cdot 1 + c cdot 0) + (d cdot (-1) + e cdot 1 + f cdot 0) x + (g cdot (-1) + h cdot 1 + i cdot 0) x^2 = 1 + x
Que simplifica para:
(-a + b) + (-d + e) x + (-g + h) x^2 = 1 + x
  1. (a cdot 2 + b cdot (-1) + c cdot 2) + (d cdot 2 + e cdot (-1) + f cdot 2) x + (g cdot 2 + h cdot (-1) + i cdot 2) x^2 = 1 - x^2 :
(2a - b + 2c) + (2d - e + 2f) x + (2g - h + 2i) x^2 = 1 - x^2
Simplificando:
  1. :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos igualar os coeficientes de potências iguais de em cada equação.
Para a primeira equação :
  • Constante:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
Para a segunda equação :
  • Constante:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
Substituindo , , e :
  • =>
  • =>
  • =>
Para a terceira equação :
  • Constante:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
Substituindo , , , , , e :
  • => => =>
  • => => =>
  • => =>

Passo 5

Agora que encontramos todos os coeficientes, vamos reescrever a transformação T(x, y, z) = (a x + b y + c z) + (d x + e y + f z) x + (g x + h y + i z) x^2 com esses valores:
T(x, y, z) = (1 cdot x + 2 cdot y + 12 cdot z) + (-1 cdot x + 0 cdot y + 1 cdot z) x + (0 cdot x + 0 cdot y - 12 cdot z) x^2
Substituindo:
T(x, y, z) = x + 2y + 12 z + (-x + z) x + (-12 z) x^2
Simplificando cada termo:
T(x, y, z) = x + 2y + 12 z - x^2 + z x - 12 z x^2
Distribuindo e combinando termos semelhantes:

Resposta

A transformação linear T(x, y, z) = x + 2y + 12 z - x^2 + z x - 12 z x^2 é dada por:

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