Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de ? Justifique.
(a) e b+d=0.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se o conjunto a & b c & d é um subespaço vetorial de . Isso envolve entender o que é um subespaço vetorial e quais propriedades ele precisa satisfazer. Vamos precisar checar se contém o vetor zero, se é fechado para adição e para multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o conjunto 0 & 0 0 & 0 contém o vetor zero. O vetor zero em é a matriz . Vamos ver se ele atende às condições de :
: Aqui, é verdade.
: Aqui, também é verdade.
Então, o vetor zero está em .
Passo 3
Agora, vamos ver se a & b a & d é fechado para adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes qualquer dentro de a' & b' a' & d' e somarmos, o resultado também deve estar em a + a' & b + b' a + a' & d + d' .
Seja e duas matrizes em .
Vamos somar .
A condição continua valendo porque .
A condição também continua: .
Então, a soma está em .
Passo 4
Por último, vamos checar se a & b a & d é fechado para multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos uma matriz qualquer em ka & kb ka & kd e multiplicarmos por um número qualquer, o resultado também deve estar em .
Seja em e um escalar qualquer.
Multiplicando por : .
A condição continua valendo porque .
A condição também se mantém: .
Então, está em .
Resposta
Sim, é um subespaço vetorial de porque contém o vetor zero, é fechado para adição e para multiplicação por escalar.