Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de M(2,2) ? Justifique.
(a) W=[lla & b c & d] in M(2,2) rvert, a=c e b+d=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se o conjunto a & b c & d é um subespaço vetorial de . Isso envolve entender o que é um subespaço vetorial e quais propriedades ele precisa satisfazer. Vamos precisar checar se contém o vetor zero, se é fechado para adição e para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o conjunto 0 & 0 0 & 0 contém o vetor zero. O vetor zero em é a matriz . Vamos ver se ele atende às condições de :
  • : Aqui, é verdade.
  • : Aqui, também é verdade.
    Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se a & b a & d é fechado para adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes qualquer dentro de a' & b' a' & d' e somarmos, o resultado também deve estar em a + a' & b + b' a + a' & d + d' .
Seja e duas matrizes em .
Vamos somar .
  • A condição continua valendo porque .
  • A condição também continua: .
    Então, a soma está em .

Passo 4

Por último, vamos checar se a & b a & d é fechado para multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos uma matriz qualquer em ka & kb ka & kd e multiplicarmos por um número qualquer, o resultado também deve estar em .
Seja em e um escalar qualquer.
Multiplicando por : .
  • A condição continua valendo porque .
  • A condição também se mantém: .
    Então, está em .

Resposta

Sim, é um subespaço vetorial de porque contém o vetor zero, é fechado para adição e para multiplicação por escalar.

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