Dadas as matrizes A=(ll3 & 2 4 & 1) e B=(ll2 & 3 1 & 1) :
mostrar que det[(A B)^t]^-1=1det A cdot det B, com det A neq 0 e det B neq 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes, e , e queremos provar uma relação envolvendo os determinantes delas. A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente propriedades de determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar saber como o determinante se comporta quando a gente faz operações como multiplicação de matrizes, transposição e inversão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Ou seja, para qualquer matriz det(M^t) = det(M) , temos:
Isso significa que transpor a matriz não muda seu determinante.

Passo 3

Agora, vamos lembrar também que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Então, para as matrizes det(AB) = det(A) cdot det(B) e :
Essa propriedade é super útil pra gente aqui.

Passo 4

Além disso, sabemos que o determinante da inversa de uma matriz é o inverso do determinante da matriz original. Ou seja:
det(M^-1) = 1det(M)
Isso vai ajudar quando tratarmos do inverso da matriz transposta.

Passo 5

Vamos juntar tudo isso! Queremos encontrar det[(AB)^t] = det(AB) . Primeiro, aplicamos a propriedade da transposta:
det[(AB)^t]^-1 = (det(AB))^-1
Então, isso vira:

Passo 6

Agora, usando a propriedade do determinante do produto:
(det(AB))^-1 = (det(A) cdot det(B))^-1 = 1det(A) cdot det(B)
E pronto, chegamos na expressão que queríamos provar!

Resposta

det[(AB)^t]^-1 = 1det(A) cdot det(B)

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