Dadas as matrizes e :
mostrar que , com e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes, e , e queremos provar uma relação envolvendo os determinantes delas. A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente propriedades de determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar saber como o determinante se comporta quando a gente faz operações como multiplicação de matrizes, transposição e inversão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Ou seja, para qualquer matriz , temos:
Isso significa que transpor a matriz não muda seu determinante.

Passo 3

Agora, vamos lembrar também que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Então, para as matrizes e :
Essa propriedade é super útil pra gente aqui.

Passo 4

Além disso, sabemos que o determinante da inversa de uma matriz é o inverso do determinante da matriz original. Ou seja:
Isso vai ajudar quando tratarmos do inverso da matriz transposta.

Passo 5

Vamos juntar tudo isso! Queremos encontrar . Primeiro, aplicamos a propriedade da transposta:
Então, isso vira:

Passo 6

Agora, usando a propriedade do determinante do produto:
E pronto, chegamos na expressão que queríamos provar!

Resposta

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Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de ? Justifique.
(a) e .
Considere a matriz quadrada:
Verifique que não é antissimétrica e que também não é. Posteriormente, verifique que é uma matriz antissimétrica.
Propriedade: Para qualquer matriz quadrada , tem-se que é uma matriz antissimétrica.
Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de ? Justifique.
© .
Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de ? Justifique.
(b) .