Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes, e , e queremos provar uma relação envolvendo os determinantes delas. A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente propriedades de determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar saber como o determinante se comporta quando a gente faz operações como multiplicação de matrizes, transposição e inversão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Ou seja, para qualquer matriz , temos:
Isso significa que transpor a matriz não muda seu determinante.
Passo 3
Agora, vamos lembrar também que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Então, para as matrizes e :
Essa propriedade é super útil pra gente aqui.
Passo 4
Além disso, sabemos que o determinante da inversa de uma matriz é o inverso do determinante da matriz original. Ou seja:
Isso vai ajudar quando tratarmos do inverso da matriz transposta.
Passo 5
Vamos juntar tudo isso! Queremos encontrar . Primeiro, aplicamos a propriedade da transposta:
Então, isso vira:
Passo 6
Agora, usando a propriedade do determinante do produto:
E pronto, chegamos na expressão que queríamos provar!