Sejam alpha=(1,0),(0,1), beta=(-1,1),(1,1) e gamma=(1,1),(-1,0) bases ordenadas de R^2. Determine:
(d) [I]alpha^gamma

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear envolvendo bases ordenadas de . As bases são:
O que a gente precisa encontrar é a matriz da identidade . Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e representação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa notação representa a matriz da transformação linear identidade de em relação às bases (base de partida) e (base de chegada).
A transformação identidade simplesmente mapeia cada vetor para ele mesmo, mas quando representamos isso em diferentes bases, precisamos expressar os vetores da base na base . Então, nossa missão é escrever os vetores de como combinações lineares dos vetores de .

Passo 3

Vamos começar expressando o primeiro vetor de (1,0) = a(1,1) + b(-1,0) , que é a - b = 1 a = 0 , em termos dos vetores de , que são e .
Queremos encontrar escalares e tais que:
Isso dá um sistema de equações:
Resolvendo, encontramos e .

Passo 4

Agora, fazemos o mesmo para o segundo vetor de (0,1) = c(1,1) + d(-1,0) , que é c - d = 0 c = 1 :
Isso resulta no sistema:
Resolvendo, temos e .

Passo 5

Com os coeficientes encontrados, podemos montar a matriz [I]alpha^gamma = 0 & 1 -1 & 1 . Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes que expressam os vetores de na base .
Então, temos:

Resposta

A matriz da identidade [I]alpha^gamma = 0 & 1 -1 & 1 é:

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