Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear envolvendo bases ordenadas de . As bases são:
O que a gente precisa encontrar é a matriz da identidade . Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e representação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Essa notação representa a matriz da transformação linear identidade de em relação às bases (base de partida) e (base de chegada).
A transformação identidade simplesmente mapeia cada vetor para ele mesmo, mas quando representamos isso em diferentes bases, precisamos expressar os vetores da base na base . Então, nossa missão é escrever os vetores de como combinações lineares dos vetores de .
Passo 3
Vamos começar expressando o primeiro vetor de , que é , em termos dos vetores de , que são e .
Queremos encontrar escalares e tais que:
Isso dá um sistema de equações:
Resolvendo, encontramos e .
Passo 4
Agora, fazemos o mesmo para o segundo vetor de , que é :
Isso resulta no sistema:
Resolvendo, temos e .
Passo 5
Com os coeficientes encontrados, podemos montar a matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes que expressam os vetores de na base .