Sejam e bases ordenadas de . Determine:
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear envolvendo bases ordenadas de . As bases são:
O que a gente precisa encontrar é a matriz da identidade . Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e representação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa notação representa a matriz da transformação linear identidade de em relação às bases (base de partida) e (base de chegada).
A transformação identidade simplesmente mapeia cada vetor para ele mesmo, mas quando representamos isso em diferentes bases, precisamos expressar os vetores da base na base . Então, nossa missão é escrever os vetores de como combinações lineares dos vetores de .

Passo 3

Vamos começar expressando o primeiro vetor de , que é , em termos dos vetores de , que são e .
Queremos encontrar escalares e tais que:
Isso dá um sistema de equações:
Resolvendo, encontramos e .

Passo 4

Agora, fazemos o mesmo para o segundo vetor de , que é :
Isso resulta no sistema:
Resolvendo, temos e .

Passo 5

Com os coeficientes encontrados, podemos montar a matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes que expressam os vetores de na base .
Então, temos:

Resposta

A matriz da identidade é:

Exercícios relacionados

Nos itens a seguir são dados um espaço vetorial e um subconjunto de . Verifique se é um subespaço vetorial de .
(e) .
Dadas as matrizes e , determine, se possível:
Considere a matriz quadrada:
Verifique que não é antissimétrica e que também não é. Posteriormente, verifique que é uma matriz antissimétrica.
Propriedade: Para qualquer matriz quadrada , tem-se que é uma matriz antissimétrica.
Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de ? Justifique.
(a) e .