Sejam
e
bases ordenadas de
. Determine:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear envolvendo bases ordenadas de
. As bases são:
O que a gente precisa encontrar é a matriz da identidade
. Para isso, vamos usar conceitos de mudança de base e representação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa notação representa a matriz da transformação linear identidade
de
em relação às bases
(base de partida) e
(base de chegada).
A transformação identidade simplesmente mapeia cada vetor para ele mesmo, mas quando representamos isso em diferentes bases, precisamos expressar os vetores da base
na base
. Então, nossa missão é escrever os vetores de
como combinações lineares dos vetores de
.
Passo 3
Vamos começar expressando o primeiro vetor de
, que é
, em termos dos vetores de
, que são
e
.
Queremos encontrar escalares
e
tais que:
Isso dá um sistema de equações:
Resolvendo, encontramos
e
.
Passo 4
Agora, fazemos o mesmo para o segundo vetor de
, que é
:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo, temos
e
.
Passo 5
Com os coeficientes encontrados, podemos montar a matriz
. Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes que expressam os vetores de
na base
.
Então, temos:
Resposta
A matriz da identidade
é: