Verifique que não é antissimétrica e que também não é. Posteriormente, verifique que é uma matriz antissimétrica.
Propriedade: Para qualquer matriz quadrada , tem-se que é uma matriz antissimétrica.
Passo 1
Então, a gente tem uma matriz quadrada dada por:
O que a gente precisa fazer aqui é verificar algumas propriedades relacionadas a matrizes antissimétricas. Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz antissimétrica: uma matriz é antissimétrica se , onde é a transposta de . Vamos usar isso para verificar se e sua transposta são antissimétricas. Depois, vamos olhar para a matriz e ver se ela é antissimétrica, usando a propriedade que para qualquer matriz quadrada , é antissimétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a transposta de , que é . Para fazer isso, a gente troca as linhas pelas colunas da matriz :
Passo 3
Agora, vamos verificar se é antissimétrica. Para isso, precisamos ver se .
Vamos calcular :
Agora, comparamos com :
Como não é igual a , concluímos que não é uma matriz antissimétrica.
Passo 4
Em seguida, vamos verificar se é antissimétrica. Para isso, precisamos ver se .
Sabemos que a transposta da transposta de uma matriz é a própria matriz, ou seja, . Então, queremos ver se .
Comparando e :
Como não é igual a , também não é uma matriz antissimétrica.
Passo 5
Por último, vamos analisar a matriz . Calculando essa diferença:
Agora, vamos verificar se é antissimétrica. Precisamos ver se .