Considere a matriz quadrada:
A=(rrr -1 & 1 & 3 8 & 3 & -5 1 & -2 & 7 )
Verifique que A não é antissimétrica e que A^t também não é. Posteriormente, verifique que A- A^t é uma matriz antissimétrica.
Propriedade: Para qualquer matriz quadrada A, tem-se que A-A^t é uma matriz antissimétrica.

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz quadrada A=(rrr -1 & 1 & 3 8 & 3 & -5 1 & -2 & 7 ) dada por:
O que a gente precisa fazer aqui é verificar algumas propriedades relacionadas a matrizes antissimétricas. Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz antissimétrica: uma matriz é antissimétrica se , onde é a transposta de . Vamos usar isso para verificar se e sua transposta são antissimétricas. Depois, vamos olhar para a matriz e ver se ela é antissimétrica, usando a propriedade que para qualquer matriz quadrada , é antissimétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a transposta de A^t=(rrr -1 & 8 & 1 1 & 3 & -2 3 & -5 & 7 ) , que é . Para fazer isso, a gente troca as linhas pelas colunas da matriz :

Passo 3

Agora, vamos verificar se - A = (rrr 1 & -1 & -3 -8 & -3 & 5 -1 & 2 & -7 ) é antissimétrica. Para isso, precisamos ver se A^t = (rrr -1 & 8 & 1 1 & 3 & -2 3 & -5 & 7 ) neq (rrr 1 & -1 & -3 -8 & -3 & 5 -1 & 2 & -7 ) = -A .
Vamos calcular :
Agora, comparamos com :
Como não é igual a , concluímos que não é uma matriz antissimétrica.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar se A = (rrr -1 & 1 & 3 8 & 3 & -5 1 & -2 & 7 ) neq (rrr 1 & -8 & -1 -1 & -3 & 2 -3 & 5 & -7 ) = -A^t é antissimétrica. Para isso, precisamos ver se .
Sabemos que a transposta da transposta de uma matriz é a própria matriz, ou seja, . Então, queremos ver se .
Comparando e :
Como não é igual a , também não é uma matriz antissimétrica.

Passo 5

Por último, vamos analisar a matriz A - A^t = (rrr -1 & 1 & 3 8 & 3 & -5 1 & -2 & 7 ) - (rrr -1 & 8 & 1 1 & 3 & -2 3 & -5 & 7 ) = (rrr 0 & -7 & 2 7 & 0 & -3 -2 & 3 & 0 ) . Calculando essa diferença:
(A - A^t)^t = (rrr 0 & 7 & -2 -7 & 0 & 3 2 & -3 & 0 )
Agora, vamos verificar se -(A - A^t) = (rrr 0 & 7 & -2 -7 & 0 & 3 2 & -3 & 0 ) é antissimétrica. Precisamos ver se .
Calculando a transposta de :
Calculando :
Vemos que , então é uma matriz antissimétrica.

Resposta

A matriz é antissimétrica.

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