Considere a matriz quadrada:
Verifique que não é antissimétrica e que também não é. Posteriormente, verifique que é uma matriz antissimétrica.
Propriedade: Para qualquer matriz quadrada , tem-se que é uma matriz antissimétrica.

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz quadrada dada por:
O que a gente precisa fazer aqui é verificar algumas propriedades relacionadas a matrizes antissimétricas. Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz antissimétrica: uma matriz é antissimétrica se , onde é a transposta de . Vamos usar isso para verificar se e sua transposta são antissimétricas. Depois, vamos olhar para a matriz e ver se ela é antissimétrica, usando a propriedade que para qualquer matriz quadrada , é antissimétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a transposta de , que é . Para fazer isso, a gente troca as linhas pelas colunas da matriz :

Passo 3

Agora, vamos verificar se é antissimétrica. Para isso, precisamos ver se .
Vamos calcular :
Agora, comparamos com :
Como não é igual a , concluímos que não é uma matriz antissimétrica.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar se é antissimétrica. Para isso, precisamos ver se .
Sabemos que a transposta da transposta de uma matriz é a própria matriz, ou seja, . Então, queremos ver se .
Comparando e :
Como não é igual a , também não é uma matriz antissimétrica.

Passo 5

Por último, vamos analisar a matriz . Calculando essa diferença:
Agora, vamos verificar se é antissimétrica. Precisamos ver se .
Calculando a transposta de :
Calculando :
Vemos que , então é uma matriz antissimétrica.

Resposta

A matriz é antissimétrica.

Exercícios relacionados

Sejam e bases ordenadas de . Determine:
(d)
Nos itens a seguir são dados um espaço vetorial e um subconjunto de . Verifique se é um subespaço vetorial de .
(e) .
Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de ? Justifique.
(a) e .
Dadas as matrizes e :
mostrar que , com e .