Nos itens a seguir são apresentados um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique s eles são espaços vetoriais. Para aquele que não for, citar os axiomas que não se verificam.
(a) e , as operações usuais de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado apresenta o conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar padrão, ou seja:
  • Adição:
  • Multiplicação por escalar:
Nosso objetivo é verificar se esse conjunto com essas operações forma um espaço vetorial, ou seja, um espaço vetorial sobre . Para isso, vamos precisar lembrar dos axiomas que definem um espaço vetorial e checar se todos eles são satisfeitos nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os axiomas que precisam ser verificados para confirmar se é um espaço vetorial. São eles:
  1. Comutatividade da Adição:
  2. Associatividade da Adição:
  3. Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor tal que
  4. Elemento Inverso da Adição: Para todo vetor , existe um vetor tal que
  5. Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escalares:
  6. Identidade da Multiplicação por Escalar:
  7. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores:
  8. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares:
Vamos verificar cada um desses axiomas para com as operações dadas.

Passo 3

1. Comutatividade da Adição:
Precisamos verificar se .
Calculando ambos:
, que é o mesmo que .
Como a adição de números reais é comutativa, isso vale. Portanto, o axioma 1 é satisfeito.
2. Associatividade da Adição:
Precisamos verificar se .
Calculando ambos os lados:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Ambos os lados resultam em . Portanto, o axioma 2 é satisfeito.
3. Elemento Neutro da Adição:
Precisamos encontrar um vetor tal que .
Calculando:
Portanto, é o elemento neutro, e o axioma 3 é satisfeito.
4. Elemento Inverso da Adição:
Para todo vetor , precisamos encontrar tal que .
Calculando:
Portanto, é o elemento inverso, e o axioma 4 é satisfeito.
5. Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escalares:
Precisamos verificar se .
Calculando ambos:
Como os dois lados são iguais, o axioma 5 é satisfeito.
6. Identidade da Multiplicação por Escalar:
Precisamos verificar se .
Calculando:
Portanto, o axioma 6 é satisfeito.
7. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores:
Precisamos verificar se .
Calculando ambos:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Ambos os lados resultam em . Portanto, o axioma 7 é satisfeito.
8. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares:
Precisamos verificar se .
Calculando ambos:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Ambos os lados resultam em . Portanto, o axioma 8 é satisfeito.

Resposta

Como todos os oito axiomas de espaço vetorial foram verificados e satisfeitos para com as operações de adição e multiplicação por escalar padrão, concluímos que é de fato um espaço vetorial.

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(b) e .
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(d) .