Nos itens a seguir são apresentados um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verifique s eles são espaços vetoriais. Para aquele que não for, citar os axiomas que não se verificam.
(a)
e
, as operações usuais de
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado apresenta o conjunto
com as operações de adição e multiplicação por escalar padrão, ou seja:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Nosso objetivo é verificar se esse conjunto com essas operações forma um espaço vetorial, ou seja, um espaço vetorial sobre
. Para isso, vamos precisar lembrar dos axiomas que definem um espaço vetorial e checar se todos eles são satisfeitos nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os axiomas que precisam ser verificados para confirmar se
é um espaço vetorial. São eles:
- Comutatividade da Adição:
- Associatividade da Adição:
- Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor
tal que - Elemento Inverso da Adição: Para todo vetor
, existe um vetor tal que - Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escalares:
- Identidade da Multiplicação por Escalar:
- Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores:
- Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares:
Vamos verificar cada um desses axiomas para
com as operações dadas.
Passo 3
1. Comutatividade da Adição:
Precisamos verificar se
.
Calculando ambos:
Como a adição de números reais é comutativa, isso vale. Portanto, o axioma 1 é satisfeito.
2. Associatividade da Adição:
Precisamos verificar se
.
Calculando ambos os lados:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Ambos os lados resultam em
. Portanto, o axioma 2 é satisfeito.
3. Elemento Neutro da Adição:
Precisamos encontrar um vetor
tal que
.
Calculando:
Portanto,
é o elemento neutro, e o axioma 3 é satisfeito.
4. Elemento Inverso da Adição:
Para todo vetor
, precisamos encontrar
tal que
.
Calculando:
Portanto,
é o elemento inverso, e o axioma 4 é satisfeito.
5. Compatibilidade da Multiplicação por Escalar com a Multiplicação de Escalares:
Precisamos verificar se
.
Calculando ambos:
Como os dois lados são iguais, o axioma 5 é satisfeito.
6. Identidade da Multiplicação por Escalar:
Precisamos verificar se
.
Calculando:
Portanto, o axioma 6 é satisfeito.
7. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores:
Precisamos verificar se
.
Calculando ambos:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Ambos os lados resultam em
. Portanto, o axioma 7 é satisfeito.
8. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares:
Precisamos verificar se
.
Calculando ambos:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Ambos os lados resultam em
. Portanto, o axioma 8 é satisfeito.
Resposta
Como todos os oito axiomas de espaço vetorial foram verificados e satisfeitos para
com as operações de adição e multiplicação por escalar padrão, concluímos que
é de fato um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
? Justifique.
(b) e
.
(b)
Em cada um dos problemas indique se o sistema é compatível (determinado ou indeterminado) ou incompatível, para isto, encontre a solução usando comparação, adição ou substituição (se tiver dúvidas pode consultar o seguinte link: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares .
Em cada um dos problemas indique se o sistema é compatível (determinado ou indeterminado) ou incompatível, para isto, encontre a solução usando comparação, adição ou substituição (se tiver dúvidas pode consultar o seguinte link: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares .
Nos itens a seguir são dados um espaço vetorial
e um subconjunto
de
. Verifique se
é um subespaço vetorial de
.
(d) .
(d)