Quais dos conjuntos que se seguem geram o ? Justrifique sua resposta:
onde, é o espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual a 3.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se o conjunto consegue gerar o espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 3. Para isso, vamos precisar dos conceitos de combinação linear e geração de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) gera um espaço vetorial se todas as combinações lineares desses vetores conseguem formar qualquer elemento do espaço. No caso de , qualquer polinômio de grau até 3 deve ser alcançável.
Passo 3
O conjunto dado é , que possui dois elementos. Sabemos que tem dimensão 4, já que um polinômio de grau até 3 tem quatro coeficientes (dos termos , , e ).
Passo 4
Para que um conjunto gere , ele precisa ter pelo menos 4 vetores linearmente independentes, correspondendo aos graus 0, 1, 2 e 3. Como nosso conjunto tem apenas 2 polinômios, mesmo que fossem linearmente independentes, não seriam suficientes para gerar todo o espaço .
Passo 5
Além disso, observamos que os polinômios dados têm grau 1 e 2, respectivamente. Não há nenhum polinômio de grau 3 no conjunto, o que impede a geração de todos os polinômios em que possuem termo de grau 3.