Quais dos conjuntos que se seguem geram o P3? Justrifique sua resposta: x+2, x^2-1
onde, P3 é o espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual a 3.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se o conjunto x+2, x^2-1 consegue gerar o espaço vetorial P3, que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 3. Para isso, vamos precisar dos conceitos de combinação linear e geração de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) gera um espaço vetorial se todas as combinações lineares desses vetores conseguem formar qualquer elemento do espaço. No caso de P3, qualquer polinômio de grau até 3 deve ser alcançável.

Passo 3

O conjunto dado é x+2, x^2-1, que possui dois elementos. Sabemos que P3 tem dimensão 4, já que um polinômio de grau até 3 tem quatro coeficientes (dos termos x^0, x^1, x^2 e x^3).

Passo 4

Para que um conjunto gere P3, ele precisa ter pelo menos 4 vetores linearmente independentes, correspondendo aos graus 0, 1, 2 e 3. Como nosso conjunto tem apenas 2 polinômios, mesmo que fossem linearmente independentes, não seriam suficientes para gerar todo o espaço P3.

Passo 5

Além disso, observamos que os polinômios dados têm grau 1 e 2, respectivamente. Não há nenhum polinômio de grau 3 no conjunto, o que impede a geração de todos os polinômios em P3 que possuem termo de grau 3.

Resposta

Portanto, o conjunto x+2, x^2-1 não gera o espaço vetorial P3.

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