Mostre que o conjunto W de todos os vetores da forma [ca b -b a] é um subespaço de R^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o conjunto a b -b a formado por todos os vetores do tipo é um subespaço de . Isso entra no tópico de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, a gente precisa verificar três condições principais que definem um subespaço:
  1. O vetor zero está em .
  2. Se você pegar dois vetores quaisquer de e somar, o resultado também está em .
  3. Se você multiplicar qualquer vetor de por um escalar, o resultado também está em .

Passo 2

Primeiro, vamos checar se o vetor zero está em 0 0 0 0. O vetor zero em a b -b a = 0 0 -0 0 = 0 0 0 0 é . Se colocarmos e na forma geral de , temos:
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se u = a1 b1 -b1 a1 e v = a2 b2 -b2 a2 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer de a1 + a2 b1 + b2 -b1 - b2 a1 + a2 , a soma deles também deve estar em a' b' -b' a' . Suponha que temos dois vetores em :
A soma é:
Podemos reescrever isso como:
onde e . Assim, também está em .

Passo 4

Por último, vamos ver se u = a b -b a é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor qualquer de c cdot u = c cdot a c cdot b c cdot (-b) c cdot a = ca cb -cb ca e multiplicarmos por um escalar a' b' -b' a' , o resultado também deve estar em . Tomemos um vetor qualquer de :
Multiplicando por :
Isso pode ser escrito como:
onde e . Portanto, também pertence a .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é, de fato, um subespaço de .

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