Dado um triângulo , sejam os pontos médio dos segmentos e respectivamente. Verifique as expressões abaixo são verdadeiras ou falsas.
II)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo ABC e os pontos M, N, P que são os pontos médios dos lados AB, BC e CA, respectivamente. O exercício pede para verificar se a expressão CM = BC - AC é verdadeira ou falsa. Vamos usar conceitos de geometria vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um ponto médio. Se M é o ponto médio de AB, então isso quer dizer que M está exatamente no meio do segmento AB. Em termos de vetores, isso significa que o vetor AM é igual a 12 AB.
Passo 3
Agora, vamos expressar CM. Podemos escrever esse vetor como a soma de dois vetores: CB (que vai de C para B) mais BM (que vai de B para M). Ou seja:
CM = CB + BM
Passo 4
Sabemos que M é o ponto médio de AB, então BM = 12 BA. Lembrando que BA = -AB, podemos reescrever:
BM = 12 (-AB) = -12 AB
Passo 5
Substituindo BM na expressão de CM, temos:
CM = CB - 12 AB
Agora, precisamos comparar isso com a expressão dada no exercício: BC - AC.
Passo 6
Vamos reescrever a expressão dada:
BC - AC
Sabemos que BC = -CB e AC = AB + BC. Substituindo na expressão:
-CB - (AB + BC) = -CB - AB - BC
Passo 7
Comparando as duas expressões:
CM = CB - 12 AB
e
BC - AC = -CB - AB - BC
Fica claro que elas não são iguais. Portanto, a expressão CM = BC - AC não é verdadeira.