Mostre que o conjunto
de todos os polinômios da forma
é um subespaço de
. Onde
é o espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual a 3.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o conjunto
de todos os polinômios da forma
é um subespaço de
. Aqui,
é o espaço vetorial de polinômios de grau no máximo 3. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se
satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é chamado de subespaço se:
- Contém o vetor zero: O vetor zero de
também está em . - É fechado sob adição: Se pegarmos quaisquer dois vetores em
, a soma deles também está em . - É fechado sob multiplicação por escalar: Se pegarmos qualquer vetor em
e multiplicarmos por um escalar, o resultado também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço
é o polinômio onde todos os coeficientes são zero, ou seja,
.
Vamos ver se esse polinômio está em
. Se escolhermos
e
, o polinômio fica:
Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em
:
Agora, somamos esses dois polinômios:
Observa que o resultado também tem a forma:
onde
e
. Isso mostra que a soma de dois polinômios em
também está em
, ou seja,
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio qualquer em
:
E multiplicar por um escalar
:
Isso também pode ser escrito como:
onde
e
. Assim, o polinômio resultante também está em
, mostrando que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.