Mostre que o conjunto de todos os polinômios da forma é um subespaço de . Onde é o espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual a 3.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o conjunto de todos os polinômios da forma é um subespaço de . Aqui, é o espaço vetorial de polinômios de grau no máximo 3. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço se:
Contém o vetor zero: O vetor zero de também está em .
É fechado sob adição: Se pegarmos quaisquer dois vetores em , a soma deles também está em .
É fechado sob multiplicação por escalar: Se pegarmos qualquer vetor em e multiplicarmos por um escalar, o resultado também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço é o polinômio onde todos os coeficientes são zero, ou seja, .
Vamos ver se esse polinômio está em . Se escolhermos e , o polinômio fica:
Portanto, o vetor zero está em .
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em :
Agora, somamos esses dois polinômios:
Observa que o resultado também tem a forma:
onde e . Isso mostra que a soma de dois polinômios em também está em , ou seja, é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio qualquer em :
E multiplicar por um escalar :
Isso também pode ser escrito como:
onde e . Assim, o polinômio resultante também está em , mostrando que é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .