Mostre que o conjunto W de todos os polinômios da forma a+b x-b x^2+a x^3 é um subespaço de P3. Onde P3 é o espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual a 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o conjunto de todos os polinômios da forma é um subespaço de . Aqui, é o espaço vetorial de polinômios de grau no máximo 3. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e verificar se satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço se:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero de também está em .
  2. É fechado sob adição: Se pegarmos quaisquer dois vetores em , a soma deles também está em .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se pegarmos qualquer vetor em e multiplicarmos por um escalar, o resultado também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero no espaço 0 + 0x - 0x^2 + 0x^3 = 0 é o polinômio onde todos os coeficientes são zero, ou seja, .
Vamos ver se esse polinômio está em . Se escolhermos e , o polinômio fica:
Portanto, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer em P1(x) = a1 + b1 x - b1 x^2 + a1 x^3 :
P2(x) = a2 + b2 x - b2 x^2 + a2 x^3
P1(x) + P2(x) = (a1 + a2) + (b1 + b2)x - (b1 + b2)x^2 + (a1 + a2)x^3
Agora, somamos esses dois polinômios:
A + Bx - Bx^2 + A x^3
Observa que o resultado também tem a forma:
onde e . Isso mostra que a soma de dois polinômios em também está em , ou seja, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio qualquer em P(x) = a + b x - b x^2 + a x^3 :
c cdot P(x) = c a + c b x - c b x^2 + c a x^3
E multiplicar por um escalar A + Bx - Bx^2 + A x^3 :
Isso também pode ser escrito como:
onde e . Assim, o polinômio resultante também está em , mostrando que é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .

Exercícios relacionados

Mostre que o conjunto W de todos os vetores da forma [ca b -b a] é um subespaço de R^4.
Quais dos conjuntos que se seguem geram o P3? Justrifique sua resposta: x+2, x^2-1
onde, P3 é o espaço vetorial de polinômios de grau menor ou igual a 3.
Prove que o conjunto W formado por todas as matrizes da forma [cca & b -b & a] é um subespaço de M2 times 2. Onde M2 times 2 é o espaço vetorial de matrizes 2 times 2 com as operações usuais.
Seja F=f: R longrightarrow R: f uma função real de variável real o espaço vetorial com as operações f+g e c f, definidas por (f+g)(x)=f(x)+g(y) e(c f)(x)=c f(x). Seja S o conjunto de todas as funções que satisfazem a equação diferencial f^prime prime+f^prime+f=0 [Ou seja, S é o conjunto solução da equação (1).] Prove que S é um subespaço de F.