Determine a área entre as assíntotas da hipérbole dada pela equação x^29-y^24=1 ^* *

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente determinar a área entre as assíntotas da hipérbole dada pela equação x^29-y^24=1. Isso envolve entender o que é uma hipérbole, identificar suas assíntotas e calcular a área que fica entre essas linhas. Para resolver, vamos precisar das propriedades da hipérbole, como encontrar as assíntotas a partir da equação e usar um pouco de cálculo para determinar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as assíntotas da hipérbole. A equação geral da hipérbole padrão é x^2a^2 - y^2b^2 = 1. As assíntotas dessa hipérbole são dadas por y = pm bax. No nosso caso, comparando com a equação dada x^29 - y^24 = 1, temos que a^2 = 9 e b^2 = 4. Portanto, a = 3 e b = 2. Assim, as assíntotas são:
y = pm 23x

Passo 3

Agora que temos as equações das assíntotas, precisamos entender a área que estamos procurando. A área entre as assíntotas da hipérbole é o espaço limitado pelas duas linhas assíntotas e pelos ramos da hipérbole. Para calcular essa área, vamos considerar um intervalo simétrico ao redor do eixo x, por exemplo, de x = -a a x = a, onde a = 3. Isso facilita a integração e aproveita a simetria da hipérbole.

Passo 4

Para encontrar a área entre as assíntotas e a hipérbole, precisamos integrar a diferença entre a função da hipérbole e a função das assíntotas no intervalo escolhido. A equação da hipérbole resolvida para y fica:
y = pm 23raizx^2 - 9
Como estamos interessados na área entre as assíntotas y = 23x e y = -23x, vamos considerar apenas a parte positiva e multiplicar o resultado por 2 devido à simetria. A fórmula da área será:
Área = 2 integral3^infty ( 23raizx^2 - 9 - 23x ) dx Á
No entanto, percebemos que a integral resulta em uma área infinita, o que não é prático. Portanto, precisamos reinterpretar o problema e considerar a área “entre as assíntotas”, que na verdade é infinita para uma hipérbole padrão.

Resposta

A área entre as assíntotas da hipérbole x^29-y^24=1 é infinita.

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