Determine a área entre as assíntotas da hipérbole dada pela equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente determinar a área entre as assíntotas da hipérbole dada pela equação
. Isso envolve entender o que é uma hipérbole, identificar suas assíntotas e calcular a área que fica entre essas linhas. Para resolver, vamos precisar das propriedades da hipérbole, como encontrar as assíntotas a partir da equação e usar um pouco de cálculo para determinar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as assíntotas da hipérbole. A equação geral da hipérbole padrão é
. As assíntotas dessa hipérbole são dadas por
. No nosso caso, comparando com a equação dada
, temos que
e
. Portanto,
e
. Assim, as assíntotas são:
Passo 3
Agora que temos as equações das assíntotas, precisamos entender a área que estamos procurando. A área entre as assíntotas da hipérbole é o espaço limitado pelas duas linhas assíntotas e pelos ramos da hipérbole. Para calcular essa área, vamos considerar um intervalo simétrico ao redor do eixo x, por exemplo, de
a
, onde
. Isso facilita a integração e aproveita a simetria da hipérbole.
Passo 4
Para encontrar a área entre as assíntotas e a hipérbole, precisamos integrar a diferença entre a função da hipérbole e a função das assíntotas no intervalo escolhido. A equação da hipérbole resolvida para
fica:
Como estamos interessados na área entre as assíntotas
e
, vamos considerar apenas a parte positiva e multiplicar o resultado por 2 devido à simetria. A fórmula da área será:
No entanto, percebemos que a integral resulta em uma área infinita, o que não é prático. Portanto, precisamos reinterpretar o problema e considerar a área “entre as assíntotas”, que na verdade é infinita para uma hipérbole padrão.
Resposta
A área entre as assíntotas da hipérbole
é infinita.