Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo. Se for verdadeira, justifique porque, se for falsa, dê um exemplo em que a afirmação não é válida.
Se A é uma matriz tal que A^2=0, então A=0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. A questão diz que se A é uma matriz tal que A² = 0 (onde 0 é a matriz nula), então A deve ser a matriz nula. O conteúdo aqui envolve álgebra linear, especificamente sobre matrizes nilpotentes. Vamos precisar saber o que significa uma matriz ser nilpotente e como isso se relaciona com a matriz nula.

Passo 2

Vamos analisar a afirmação: se A² = 0, será que A precisa ser igual a 0? Em álgebra linear, uma matriz A é chamada de nilpotente se existe algum número natural k tal que Aᵏ = 0. No caso, temos k = 2.

Passo 3

Se supormos que A = 0, então certamente A² = 0, já que qualquer potência de uma matriz nula é a própria matriz nula. Mas queremos saber se o contrário também é verdadeiro: se A² = 0, necessariamente A = 0?

Passo 4

Para verificar isso, vamos tentar encontrar uma matriz que não seja nula, mas que ao ser elevada ao quadrado resulte na matriz nula. Um exemplo simples é a matriz A que tem 1 em uma posição fora da diagonal principal e 0 nas outras posições.

Passo 5

Considere a matriz A de ordem 2:
A = 0 & 1 0 & 0
Vamos calcular :
A² = A times A = 0 & 1 0 & 0 times 0 & 1 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0 ²
Então, A² = 0, mas claramente A ≠ 0.

Resposta

A afirmação é falsa. Um exemplo de matriz não nula que satisfaz A² = 0 é:
A = 0 & 1 0 & 0

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