Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo. Se for verdadeira, justifique porque, se for falsa, dê um exemplo em que a afirmação não é válida.
Se
é uma matriz tal que
, então
.
Se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. A questão diz que se A é uma matriz tal que A² = 0 (onde 0 é a matriz nula), então A deve ser a matriz nula. O conteúdo aqui envolve álgebra linear, especificamente sobre matrizes nilpotentes. Vamos precisar saber o que significa uma matriz ser nilpotente e como isso se relaciona com a matriz nula.
Passo 2
Vamos analisar a afirmação: se A² = 0, será que A precisa ser igual a 0? Em álgebra linear, uma matriz A é chamada de nilpotente se existe algum número natural k tal que Aᵏ = 0. No caso, temos k = 2.
Passo 3
Se supormos que A = 0, então certamente A² = 0, já que qualquer potência de uma matriz nula é a própria matriz nula. Mas queremos saber se o contrário também é verdadeiro: se A² = 0, necessariamente A = 0?
Passo 4
Para verificar isso, vamos tentar encontrar uma matriz que não seja nula, mas que ao ser elevada ao quadrado resulte na matriz nula. Um exemplo simples é a matriz A que tem 1 em uma posição fora da diagonal principal e 0 nas outras posições.
Passo 5
Considere a matriz A de ordem 2:
Vamos calcular A²:
Então, A² = 0, mas claramente A ≠ 0.
Resposta
A afirmação é falsa. Um exemplo de matriz não nula que satisfaz A² = 0 é: