Para os conjuntos seguintes, determine se são espaços vetoriais reais, se a adição e multiplicação são as usuais.
© O conjunto das funções tais que f(0)=1+f(1).

Passo 1

Vamos entender qual é o problema. Temos um conjunto de funções reais onde cada função satisfaz a condição . Nosso objetivo é determinar se esse conjunto é um espaço vetorial real usando as operações de adição e multiplicação usuais de funções. Para isso, vamos precisar verificar se o conjunto cumpre as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial, especialmente verificar se contém o vetor zero e se é fechado sob adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero, nesse caso, é a função f(0) = 0 e f(1) = 0 para todo 0 = 1 + 0 Rightarrow 0 = 1 . Vamos ver se essa função satisfaz a condição :
Substituindo na condição:
Isso não é verdade. Portanto, a função zero não está no conjunto.

Passo 3

Como o vetor zero não pertence ao conjunto, já podemos concluir que esse conjunto não é um espaço vetorial. Um dos requisitos fundamentais para ser um espaço vetorial é conter o vetor zero. Sem isso, o conjunto não satisfaz as propriedades de um espaço vetorial.

Resposta

Não, o conjunto das funções que satisfazem não é um espaço vetorial real, pois não contém o vetor zero.

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