Para os conjuntos seguintes, determine se são espaços vetoriais reais, se a adição e multiplicação são as usuais. (a) O conjunto dos polinômios de grau menor o igual a
(considerando o polinômio nulo, que não tem grau, pertencente a este conjunto).
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede pra gente descobrir se o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a
é um espaço vetorial real. Vamos usar os conceitos de espaços vetoriais, que envolvem verificar propriedades como adição e multiplicação por escalar para ver se tudo se encaixa direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de objetos (no caso, polinômios) junto com duas operações: adição e multiplicação por escalar. Esse conjunto precisa satisfazer algumas regras, como fechar na adição e na multiplicação por escalar, ter um elemento neutro, entre outras propriedades.
Passo 3
Vamos começar verificando o fechamento pela adição. Isso significa que se você pegar dois polinômios que têm grau menor ou igual a
e somá-los, o resultado também deve ter grau menor ou igual a
.
Passo 4
Então, imaginemos dois polinômios
e
, ambos com grau ≤
. Quando somamos
, o grau do polinômio resultante será, no máximo,
, porque a soma de dois polinômios não aumenta o grau além do maior grau dos polinômios originais. Assim, a adição está fechada nesse conjunto.
Passo 5
Agora vamos verificar o fechamento pela multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se você multiplicar um polinômio de grau ≤
por qualquer número real, o polinômio resultante também deve ter grau ≤
.
Passo 6
Pegando um polinômio
de grau ≤
e multiplicando por um escalar
, o polinômio
mantém o mesmo grau de
. Multiplicar por um escalar não muda o grau do polinômio, então a multiplicação por escalar também está fechada nesse conjunto.
Passo 7
Além disso, precisamos checar outras propriedades dos espaços vetoriais, como a associatividade da adição, a existência de um elemento neutro (que no caso é o polinômio nulo), e a existência de inversos (polinômios que somados dão o zero). Todas essas propriedades também são satisfeitas pelo conjunto dos polinômios de grau ≤
com as operações usuais.
Resposta
Sim, o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a
com adição e multiplicação por escalar usuais é um espaço vetorial real.
Exercícios relacionados
$(Vale 2,5 pontos) Considere a transformação linear
, definida por
e as bases
do
e
do
.
b) (Vale 1,0 ponto) Calcule , onde
.
b) (Vale 1,0 ponto) Calcule
Seja
o conjunto das funções y satisfazendo a equação
(b) Mostre que
é um subespaço do espaço vetorial
.
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, definida por
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e
do
.
c) (Vale 0,5 ponto) Calcule .
c) (Vale 0,5 ponto) Calcule
(PUC-RJ)O valor de
, onde
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C) -64
C) -64