Para os conjuntos seguintes, determine se são espaços vetoriais reais, se a adição e multiplicação são as usuais. (a) O conjunto dos polinômios de grau menor o igual a (considerando o polinômio nulo, que não tem grau, pertencente a este conjunto).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra gente descobrir se o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a é um espaço vetorial real. Vamos usar os conceitos de espaços vetoriais, que envolvem verificar propriedades como adição e multiplicação por escalar para ver se tudo se encaixa direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de objetos (no caso, polinômios) junto com duas operações: adição e multiplicação por escalar. Esse conjunto precisa satisfazer algumas regras, como fechar na adição e na multiplicação por escalar, ter um elemento neutro, entre outras propriedades.

Passo 3

Vamos começar verificando o fechamento pela adição. Isso significa que se você pegar dois polinômios que têm grau menor ou igual a e somá-los, o resultado também deve ter grau menor ou igual a .

Passo 4

Então, imaginemos dois polinômios e , ambos com grau ≤ . Quando somamos , o grau do polinômio resultante será, no máximo, , porque a soma de dois polinômios não aumenta o grau além do maior grau dos polinômios originais. Assim, a adição está fechada nesse conjunto.

Passo 5

Agora vamos verificar o fechamento pela multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se você multiplicar um polinômio de grau ≤ por qualquer número real, o polinômio resultante também deve ter grau ≤ .

Passo 6

Pegando um polinômio de grau ≤ e multiplicando por um escalar , o polinômio mantém o mesmo grau de . Multiplicar por um escalar não muda o grau do polinômio, então a multiplicação por escalar também está fechada nesse conjunto.

Passo 7

Além disso, precisamos checar outras propriedades dos espaços vetoriais, como a associatividade da adição, a existência de um elemento neutro (que no caso é o polinômio nulo), e a existência de inversos (polinômios que somados dão o zero). Todas essas propriedades também são satisfeitas pelo conjunto dos polinômios de grau ≤ com as operações usuais.

Resposta

Sim, o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a com adição e multiplicação por escalar usuais é um espaço vetorial real.

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