Seja
o conjunto das funções y satisfazendo a equação
(b) Mostre que
é um subespaço do espaço vetorial
.
Passo 1
Vamos analisar o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto
das funções
que satisfazem a equação diferencial
. O conteúdo envolvido aqui é o de espaços vetoriais e equações diferenciais. Para resolver essa questão, precisamos entender o que é um subespaço vetorial e verificar se
cumpre todos os critérios necessários para ser considerado um subespaço dentro do espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as funções de
para
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores que podem ser somados e multiplicados por escalares, e que obedecem a certas propriedades, como a comutatividade e associatividade da soma, existência de um vetor nulo, entre outras.
Passo 3
Para que
seja um subespaço de
, ele precisa satisfazer três condições básicas:
- Fechamento sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechamento sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também deve estar em . - Presença do vetor nulo: O vetor nulo (neste caso, a função zero) deve estar em
.
Passo 4
Vamos verificar cada uma dessas condições para
:
-
Fechamento sob adição:
- Suponha que
e são funções em . Isso significa que elas satisfazem a equação diferencial: - Somando essas duas equações, temos:
- Isso mostra que
também satisfaz a equação diferencial, ou seja, está em .
- Suponha que
-
Fechamento sob multiplicação por escalar:
- Seja
uma função em e um escalar qualquer. Então: - Multiplicando toda a equação por
: - Assim,
também satisfaz a equação diferencial, logo está em .
- Seja
-
Presença do vetor nulo:
- A função zero
claramente satisfaz a equação diferencial: - Portanto, a função zero está em
.
- A função zero
Passo 5
Como
satisfaz todas as três condições necessárias—é fechado sob adição, é fechado sob multiplicação por escalar e contém o vetor nulo—podemos concluir que
é, de fato, um subespaço do espaço vetorial
.
Resposta
O conjunto
das funções que satisfazem a equação
é um subespaço do espaço vetorial
.
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é uma transformação linear definida por
.
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a) (Vale I,0 ponto) Determine uma base do
Determine
.
b) e
b)
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, definida por
e as bases
do
e
do
.
b) (Vale 1,0 ponto) Calcule , onde
.
b) (Vale 1,0 ponto) Calcule
Para os conjuntos seguintes, determine se são espaços vetoriais reais, se a adição e multiplicação são as usuais. (a) O conjunto dos polinômios de grau menor o igual a
(considerando o polinômio nulo, que não tem grau, pertencente a este conjunto).