Seja S o conjunto das funções y satisfazendo a equação 2 d yd x+3 y=0 (b) Mostre que S é um subespaço do espaço vetorial F(R, R).

Passo 1

Vamos analisar o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto das funções que satisfazem a equação diferencial . O conteúdo envolvido aqui é o de espaços vetoriais e equações diferenciais. Para resolver essa questão, precisamos entender o que é um subespaço vetorial e verificar se cumpre todos os critérios necessários para ser considerado um subespaço dentro do espaço vetorial , que é o conjunto de todas as funções de para .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos chamados vetores que podem ser somados e multiplicados por escalares, e que obedecem a certas propriedades, como a comutatividade e associatividade da soma, existência de um vetor nulo, entre outras.

Passo 3

Para que seja um subespaço de , ele precisa satisfazer três condições básicas:
  1. Fechamento sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
  3. Presença do vetor nulo: O vetor nulo (neste caso, a função zero) deve estar em .

Passo 4

Vamos verificar cada uma dessas condições para 2 dy1dx + 3 y1 = 0 e 2 dy2dx + 3 y2 = 0 :
  1. Fechamento sob adição:
    • Suponha que 2 ( dy1dx + dy2dx ) + 3(y1 + y2) = 0 e 2 d(y1 + y2)dx + 3 (y1 + y2) = 0 são funções em 2 dydx + 3 y = 0 . Isso significa que elas satisfazem a equação diferencial: 2 d(c y)dx + 3 (c y) = c ( 2 dydx + 3 y ) = c cdot 0 = 0
    • Somando essas duas equações, temos: 2 d(0)dx + 3 cdot 0 = 0 + 0 = 0
    • Isso mostra que também satisfaz a equação diferencial, ou seja, está em .
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar:
    • Seja uma função em e um escalar qualquer. Então:
    • Multiplicando toda a equação por :
    • Assim, também satisfaz a equação diferencial, logo está em .
  3. Presença do vetor nulo:
    • A função zero claramente satisfaz a equação diferencial:
    • Portanto, a função zero está em .

Passo 5

Como satisfaz todas as três condições necessárias—é fechado sob adição, é fechado sob multiplicação por escalar e contém o vetor nulo—podemos concluir que é, de fato, um subespaço do espaço vetorial .

Resposta

O conjunto das funções que satisfazem a equação é um subespaço do espaço vetorial .

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