$(Vale 2,5 pontos) Considere a transformação linear (Va<= 2,5 pontos) Considere a transformação linear , definida por , definida por e as bases e as bases do do e e do do .
b) (Vale 1,0 ponto) Calcule b) (Va<= 1,0 ponto) Calcu<= , onde , onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer que a gente encontre a representação do vetor na base do espaço . Para isso, vamos precisar entender como expressar um vetor em termos de uma base específica, ou seja, encontrar os coeficientes que, quando multiplicados pelos vetores da base, resultam no vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que v = c1 cdot (1,1,1) + c2 cdot (1,2,3) + c3 cdot (2,-1,1) . Isso significa que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 3

Vamos escrever isso componente por componente. Isso nos dá um sistema de três equações:
c1 cdot 1 + c2 cdot 1 + c3 cdot 2 = 1 (primeira coordenada) c1 cdot 1 + c2 cdot 2 + c3 cdot (-1) = -3 (segunda coordenada) c1 cdot 1 + c2 cdot 3 + c3 cdot 1 = 4 (terceira coordenada)

Passo 4

Agora, resolvemos esse sistema de equações para encontrar 1 & 1 & 2 & | & 1 1 & 2 & -1 & | & -3 1 & 3 & 1 & | & 4 , e . Podemos usar métodos como substituição, eliminação ou matrizes. Vamos usar a matriz aumentada e aplicar métodos de redução.
A matriz aumentada fica:

Passo 5

Vamos fazer operações nas linhas para simplificar. Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar 1 & 1 & 2 & | & 1 0 & 1 & -3 & | & -4 0 & 2 & -1 & | & 3 :

Passo 6

Agora, vamos eliminar 1 & 1 & 2 & | & 1 0 & 1 & -3 & | & -4 0 & 0 & 5 & | & 11 da terceira linha. Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira:

Passo 7

Agora, podemos resolver de trás para frente. A terceira linha nos dá:
5c3 = 11 implies c3 = 115
Substituímos c2 - 3 cdot 115 = -4 implies c2 - 335 = -4 implies c2 = 335 - 4 = 335 - 205 = 135 na segunda linha:
c1 + 135 + 2 cdot 115 = 1 implies c1 + 135 + 225 = 1 implies c1 + 355 = 1 implies c1 = 1 - 7 = -6
Finalmente, substituímos e na primeira linha:

Resposta

A representação do vetor [v]alpha = ( -6, 135, 115 ) na base é:

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