$(Vale 2,5 pontos) Considere a transformação linear , definida por e as bases do e do .
b) (Vale 1,0 ponto) Calcule , onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer que a gente encontre a representação do vetor na base do espaço . Para isso, vamos precisar entender como expressar um vetor em termos de uma base específica, ou seja, encontrar os coeficientes que, quando multiplicados pelos vetores da base, resultam no vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que . Isso significa que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .

Passo 3

Vamos escrever isso componente por componente. Isso nos dá um sistema de três equações:

Passo 4

Agora, resolvemos esse sistema de equações para encontrar , e . Podemos usar métodos como substituição, eliminação ou matrizes. Vamos usar a matriz aumentada e aplicar métodos de redução.
A matriz aumentada fica:

Passo 5

Vamos fazer operações nas linhas para simplificar. Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar :

Passo 6

Agora, vamos eliminar da terceira linha. Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira:

Passo 7

Agora, podemos resolver de trás para frente. A terceira linha nos dá:
Substituímos na segunda linha:
Finalmente, substituímos e na primeira linha:

Resposta

A representação do vetor na base é:

Exercícios relacionados

Seja o conjunto das funções y satisfazendo a equação (b) Mostre que é um subespaço do espaço vetorial .
$(Vale 3,0 pontos) Sabendo que é uma transformação linear definida por .
a) (Vale I,0 ponto) Determine uma base do .
Para os conjuntos seguintes, determine se são espaços vetoriais reais, se a adição e multiplicação são as usuais. (a) O conjunto dos polinômios de grau menor o igual a (considerando o polinômio nulo, que não tem grau, pertencente a este conjunto).
$(Vale 2,5 pontos) Considere a transformação linear , definida por e as bases do e do .
c) (Vale 0,5 ponto) Calcule .