$(Vale 2,5 pontos) Considere a transformação linear , definida por e as bases do e do .
b) (Vale 1,0 ponto) Calcule , onde .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer que a gente encontre a representação do vetor na base do espaço . Para isso, vamos precisar entender como expressar um vetor em termos de uma base específica, ou seja, encontrar os coeficientes que, quando multiplicados pelos vetores da base, resultam no vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos supor que . Isso significa que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e .
Passo 3
Vamos escrever isso componente por componente. Isso nos dá um sistema de três equações:
Passo 4
Agora, resolvemos esse sistema de equações para encontrar , e . Podemos usar métodos como substituição, eliminação ou matrizes. Vamos usar a matriz aumentada e aplicar métodos de redução.
A matriz aumentada fica:
Passo 5
Vamos fazer operações nas linhas para simplificar. Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar :
Passo 6
Agora, vamos eliminar da terceira linha. Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira:
Passo 7
Agora, podemos resolver de trás para frente. A terceira linha nos dá: