$(Vale 2,5 pontos) Considere a transformação linear (Va<= 2,5 pontos) Considere a transformação linear , definida por , definida por e as bases e as bases do do e e do do .
c) (Vale 0,5 ponto) Calcule c) (Va<= 0,5 ponto) Calcu<= .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui, a gente tem uma transformação linear que vai de para . Ela é definida por . Além disso, temos duas bases: para e para . Nosso objetivo aqui é calcular , que é a representação de na base .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso representa as coordenadas do vetor na base . Para encontrar isso, precisamos expressar como uma combinação linear dos vetores da base .

Passo 3

Vamos considerar um vetor em na base . Suponha que seja representado por , onde são os coeficientes nas direções dos vetores da base .

Passo 4

Aplicando a transformação T(v) = T(a(1,1,1) + b(1,2,3) + c(2,-1,1)) a T(v) = aT(1,1,1) + bT(1,2,3) + cT(2,-1,1) , temos:
T(1,1,1) = (1 + 2(1) - 3(1), 4(1) - 5(1) + 6(1)) = (0, 5)
Usando a linearidade de T(1,2,3) = (1 + 2(2) - 3(3), 4(1) - 5(2) + 6(3)) = (-4, 12) , isso se torna:
T(2,-1,1) = (2 + 2(-1) - 3(1), 4(2) - 5(-1) + 6(1)) = (-3, 15)
Calculando cada termo:
T(v) = a(0,5) + b(-4,12) + c(-3,15) = ( -4b -3c, 5a +12b +15c )
Então:

Passo 5

Agora, queremos expressar [T(v)]beta = -4b -3c 5a +12b +15c na base . Como é a base canônica de , as coordenadas de na base são simplesmente os próprios componentes do vetor. Portanto:

Resposta

[T(v)]beta = -4b -3c 5a +12b +15c

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