$(Vale 2,5 pontos) Considere a transformação linear , definida por e as bases do e do .
c) (Vale 0,5 ponto) Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui, a gente tem uma transformação linear que vai de para . Ela é definida por . Além disso, temos duas bases: para e para . Nosso objetivo aqui é calcular , que é a representação de na base .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso representa as coordenadas do vetor na base . Para encontrar isso, precisamos expressar como uma combinação linear dos vetores da base .

Passo 3

Vamos considerar um vetor em na base . Suponha que seja representado por , onde são os coeficientes nas direções dos vetores da base .

Passo 4

Aplicando a transformação a , temos:
Usando a linearidade de , isso se torna:
Calculando cada termo:
Então:

Passo 5

Agora, queremos expressar na base . Como é a base canônica de , as coordenadas de na base são simplesmente os próprios componentes do vetor. Portanto:

Resposta

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Para os conjuntos seguintes, determine se são espaços vetoriais reais, se a adição e multiplicação são as usuais. (a) O conjunto dos polinômios de grau menor o igual a (considerando o polinômio nulo, que não tem grau, pertencente a este conjunto).
$(Vale 2,5 pontos) Considere a transformação linear , definida por e as bases do e do .
b) (Vale 1,0 ponto) Calcule , onde .
(PUC-RJ)O valor de , onde é a unidade imaginária, é de:
C) -64
$(Vale 3,0 pontos) Sabendo que é uma transformação linear definida por .
b) (Vale 1,0 ponto) Determine uma base da .