$(Vale 2,5 pontos) Considere a transformação linear
, definida por
e as bases
do
e
do
.
c) (Vale 0,5 ponto) Calcule
.
c) (Vale 0,5 ponto) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Aqui, a gente tem uma transformação linear
que vai de
para
. Ela é definida por
. Além disso, temos duas bases:
para
e
para
. Nosso objetivo aqui é calcular
, que é a representação de
na base
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso representa as coordenadas do vetor
na base
. Para encontrar isso, precisamos expressar
como uma combinação linear dos vetores da base
.
Passo 3
Vamos considerar um vetor
em
na base
. Suponha que
seja representado por
, onde
são os coeficientes nas direções dos vetores da base
.
Passo 4
Aplicando a transformação
a
, temos:
Usando a linearidade de
, isso se torna:
Calculando cada termo:
Então:
Passo 5
Agora, queremos expressar
na base
. Como
é a base canônica de
, as coordenadas de
na base
são simplesmente os próprios componentes do vetor. Portanto: