Entre os conjuntos seguintes, encontre aquilos que são s.e.v de R^4.
V4=(x1, x2, x3, x4): x1^2+x3^2=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se o conjunto é um subespaço vetorial (s.e.v) de . Estamos lidando com álgebra linear aqui, e para verificar se algo é um subespaço vetorial, precisamos conferir três coisas: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado em adição e se é fechado em multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se x1^2 + x3^2 = 1 implies 0^2 + 0^2 = 0 neq 1 contém o vetor zero. O vetor zero em é . Substituindo na condição do conjunto:
Como , o vetor zero não está em .

Passo 3

Já que o vetor zero não está no conjunto, isso já é um sinal de que u + v = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, x4 + y4) pode não ser um subespaço vetorial. Mas, pra completar, vamos dar uma olhada na adição. Suponha que temos dois vetores (x1 + y1)^2 + (x3 + y3)^2 = 1 e x1^2 + 2x1y1 + y1^2 + x3^2 + 2x3y3 + y3^2 = 1 + 2x1y1 + 2x3y3 + y1^2 + y3^2 em 1 + 2x1y1 + 2x3y3 + 1 = 2 + 2x1y1 + 2x3y3 neq 1 . A soma deles seria:
Para que seja fechado em adição, precisamos que:
Mas, expandindo isso:
Como sabemos que e , a equação acima se torna:
Então, a soma de dois vetores em não necessariamente está em .

Passo 4

Vamos também verificar a multiplicação por escalar. Pegue um vetor cu = (c x1, c x2, c x3, c x4) em (c x1)^2 + (c x3)^2 = c^2(x1^2 + x3^2) = c^2 cdot 1 = c^2 e um escalar . Multiplicando:
Para que seja fechado em multiplicação por escalar, precisamos que:
Para que isso seja igual a 1, precisaríamos que , ou seja, . Mas, se for qualquer outro número, a condição não é satisfeita. Portanto, não é fechado em multiplica��ão por escalar.

Resposta

Não, o conjunto não é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados