Entre os conjuntos seguintes, encontre aquilos que são s.e.v de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se o conjunto
é um subespaço vetorial (s.e.v) de
. Estamos lidando com álgebra linear aqui, e para verificar se algo é um subespaço vetorial, precisamos conferir três coisas: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado em adição e se é fechado em multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição do conjunto:
Como
, o vetor zero não está em
.
Passo 3
Já que o vetor zero não está no conjunto, isso já é um sinal de que
pode não ser um subespaço vetorial. Mas, pra completar, vamos dar uma olhada na adição. Suponha que temos dois vetores
e
em
. A soma deles seria:
Para que
seja fechado em adição, precisamos que:
Mas, expandindo isso:
Como sabemos que
e
, a equação acima se torna:
Então, a soma de dois vetores em
não necessariamente está em
.
Passo 4
Vamos também verificar a multiplicação por escalar. Pegue um vetor
em
e um escalar
. Multiplicando:
Para que
seja fechado em multiplicação por escalar, precisamos que:
Para que isso seja igual a 1, precisaríamos que
, ou seja,
. Mas, se
for qualquer outro número, a condição não é satisfeita. Portanto,
não é fechado em multiplica��ão por escalar.
Resposta
Não, o conjunto
não é um subespaço vetorial de
.