Seja , e consideremos a matriz cujas colunas são os vetores de (ver Q3.-).
Considere um s.e.v. de . Prove que gera se e somente se o sistema linear
tem ao menos uma solução para todo .
Conclui que gera se e somente se o sistema aumentado
é consistente para todo .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um conjunto de vetores no espaço e uma matriz que usa esses vetores como colunas. A questão está falando sobre como esses vetores podem “gerar” um subespaço de . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre sistemas lineares e consistência desses sistemas para qualquer vetor em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que gera . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em . Em termos matemáticos, para todo , existe um conjunto de escalares tal que:
Aqui, é a matriz cujas colunas são os vetores .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre sistemas lineares. O sistema diz que estamos tentando encontrar um vetor que, quando multiplicado pela matriz , resulta no vetor . Se esse sistema tem pelo menos uma solução para todo em , isso significa que conseguimos expressar qualquer vetor de usando os vetores de . Isso confirma que gera .

Passo 4

Além disso, podemos olhar para o sistema aumentado , que é basicamente a matriz com o vetor anexado como uma coluna extra. Se esse sistema é consistente, ou seja, tem solução para qualquer em , isso também confirma que gera . A consistência significa que não há contradições e sempre podemos encontrar um que resolve .

Resposta

Portanto, concluímos que gera o subespaço se e somente se o sistema linear tem pelo menos uma solução para todo , o que é equivalente a dizer que o sistema aumentado é consistente para todo .

Exercícios relacionados

Dada a elipse de equação:
Equação reduzida
Exercício 4. Resolva o seguinte sistema por eliminação gaussiana.
Estude a dependência ou independência linear dos conjuntos seguintes
.