Seja
, e consideremos a matriz
cujas colunas são os vetores de
(ver Q3.-).
Considere
um s.e.v. de
. Prove que
gera
se e somente se o sistema linear
tem ao menos uma solução para todo
.
Conclui que
gera
se e somente se o sistema aumentado
é consistente para todo
.
Considere
Conclui que
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um conjunto de vetores
no espaço
e uma matriz
que usa esses vetores como colunas. A questão está falando sobre como esses vetores podem “gerar” um subespaço
de
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre sistemas lineares e consistência desses sistemas para qualquer vetor
em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que
gera
. Isso quer dizer que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em
. Em termos matemáticos, para todo
, existe um conjunto de escalares
tal que:
Aqui,
é a matriz cujas colunas são os vetores
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre sistemas lineares. O sistema
diz que estamos tentando encontrar um vetor
que, quando multiplicado pela matriz
, resulta no vetor
. Se esse sistema tem pelo menos uma solução para todo
em
, isso significa que conseguimos expressar qualquer vetor de
usando os vetores de
. Isso confirma que
gera
.
Passo 4
Além disso, podemos olhar para o sistema aumentado
, que é basicamente a matriz
com o vetor
anexado como uma coluna extra. Se esse sistema é consistente, ou seja, tem solução para qualquer
em
, isso também confirma que
gera
. A consistência significa que não há contradições e sempre podemos encontrar um
que resolve
.
Resposta
Portanto, concluímos que
gera o subespaço
se e somente se o sistema linear
tem pelo menos uma solução para todo
, o que é equivalente a dizer que o sistema aumentado
é consistente para todo
.
Exercícios relacionados
Dada a elipse de equação:
Equação reduzida
Exercício 4. Resolva o seguinte sistema por eliminação gaussiana.
Estude a dependência ou independência linear dos conjuntos seguintes
.