Seja E=v1, ldots, vk subset R^n, e consideremos a matriz M in Mn times k(R) cujas colunas são os vetores de E (ver Q3.-).
Considere W um s.e.v. de R^n. Prove que E gera W se e somente se o sistema linear
M x=y
tem ao menos uma solução para todo y in W.
Conclui que E gera W se e somente se o sistema aumentado
[M mid y]
é consistente para todo y in W.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um conjunto de vetores no espaço e uma matriz que usa esses vetores como colunas. A questão está falando sobre como esses vetores podem “gerar” um subespaço de . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre sistemas lineares e consistência desses sistemas para qualquer vetor em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que M x = y gera . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em . Em termos matemáticos, para todo , existe um conjunto de escalares tal que:
Aqui, é a matriz cujas colunas são os vetores .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre sistemas lineares. O sistema diz que estamos tentando encontrar um vetor que, quando multiplicado pela matriz , resulta no vetor . Se esse sistema tem pelo menos uma solução para todo em , isso significa que conseguimos expressar qualquer vetor de usando os vetores de . Isso confirma que gera .

Passo 4

Além disso, podemos olhar para o sistema aumentado , que é basicamente a matriz com o vetor anexado como uma coluna extra. Se esse sistema é consistente, ou seja, tem solução para qualquer em , isso também confirma que gera . A consistência significa que não há contradições e sempre podemos encontrar um que resolve .

Resposta

Portanto, concluímos que gera o subespaço se e somente se o sistema linear tem pelo menos uma solução para todo , o que é equivalente a dizer que o sistema aumentado é consistente para todo .

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