Exercício 4. Resolva o seguinte sistema por eliminação gaussiana.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando eliminação gaussiana. O sistema que temos é:
Vamos precisar entender como transformar as equações para eliminar uma variável por vez e chegar nas soluções para , e .
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa colocar os coeficientes das variáveis e os termos constantes em uma matriz:
Passo 3
Nosso objetivo é zerar os coeficientes abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (a posição [1,1]). Para isso, vamos usar a primeira linha para eliminar os das outras linhas.
Primeiro, vamos transformar a segunda linha ():
A matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o da terceira linha () usando a primeira linha:
A matriz fica:
Passo 5
Agora, nosso foco é zerar o coeficiente abaixo do na segunda coluna da terceira linha. Para isso, vamos usar a segunda linha () para eliminar o na terceira linha ().
Primeiro, vamos ajustar as linhas para facilitar:
Multiplicamos a segunda linha por 3 e a terceira linha por 2:
Agora, subtraímos :
A matriz atualizada fica:
Passo 6
Agora que temos a matriz triangular, vamos resolver de baixo para cima.
Da terceira linha:
Passo 7
Usando o valor de na segunda linha:
Passo 8
Finalmente, usando os valores de e na primeira linha: