Exercício 4. Resolva o seguinte sistema por eliminação gaussiana.
r x+y+2 z=9 2 x+4 y-3 z=1 3 x+6 y-5 z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando eliminação gaussiana. O sistema que temos é:
x + y + 2z = 9 2x + 4y - 3z = 1 3x + 6y - 5z = 0
Vamos precisar entender como transformar as equações para eliminar uma variável por vez e chegar nas soluções para , e .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa colocar os coeficientes das variáveis e os termos constantes em uma matriz:
1 & 1 & 2 & | & 9 2 & 4 & -3 & | & 1 3 & 6 & -5 & | & 0

Passo 3

Nosso objetivo é zerar os coeficientes abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (a posição [1,1]). Para isso, vamos usar a primeira linha para eliminar os R2' = R2 - 2 times R1 das outras linhas.
Primeiro, vamos transformar a segunda linha ( R2' = [2 - 2 times 1, 4 - 2 times 1, -3 - 2 times 2, 1 - 2 times 9] = [0, 2, -7, -17] ):
1 & 1 & 2 & | & 9 0 & 2 & -7 & | & -17 3 & 6 & -5 & | & 0
A matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o R3' = R3 - 3 times R1 da terceira linha ( R3' = [3 - 3 times 1, 6 - 3 times 1, -5 - 3 times 2, 0 - 3 times 9] = [0, 3, -11, -27] ) usando a primeira linha:
1 & 1 & 2 & | & 9 0 & 2 & -7 & | & -17 0 & 3 & -11 & | & -27
A matriz fica:

Passo 5

Agora, nosso foco é zerar o coeficiente abaixo do R2'' = 3 times R2' = [0, 6, -21, -51] na segunda coluna da terceira linha. Para isso, vamos usar a segunda linha ( R3'' = 2 times R3' = [0, 6, -22, -54] ) para eliminar o R3''' = R3'' - R2'' = [0 - 0, 6 - 6, -22 - (-21), -54 - (-51)] = [0, 0, -1, -3] na terceira linha ( 1 & 1 & 2 & | & 9 0 & 2 & -7 & | & -17 0 & 0 & -1 & | & -3 ).
Primeiro, vamos ajustar as linhas para facilitar:
Multiplicamos a segunda linha por 3 e a terceira linha por 2:
Agora, subtraímos :
A matriz atualizada fica:

Passo 6

Agora que temos a matriz triangular, vamos resolver de baixo para cima.
Da terceira linha:
-1z = -3 implies z = 3

Passo 7

Usando o valor de 2y - 7 times 3 = -17 implies 2y - 21 = -17 implies 2y = 4 implies y = 2 na segunda linha:

Passo 8

Finalmente, usando os valores de x + 2 + 2 times 3 = 9 implies x + 2 + 6 = 9 implies x + 8 = 9 implies x = 1 e na primeira linha:

Resposta

A solução do sistema é , e .

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