Exercício 4. Resolva o seguinte sistema por eliminação gaussiana.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando eliminação gaussiana. O sistema que temos é:
Vamos precisar entender como transformar as equações para eliminar uma variável por vez e chegar nas soluções para , e .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa colocar os coeficientes das variáveis e os termos constantes em uma matriz:

Passo 3

Nosso objetivo é zerar os coeficientes abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (a posição [1,1]). Para isso, vamos usar a primeira linha para eliminar os das outras linhas.
Primeiro, vamos transformar a segunda linha ( ):
A matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o da terceira linha ( ) usando a primeira linha:
A matriz fica:

Passo 5

Agora, nosso foco é zerar o coeficiente abaixo do na segunda coluna da terceira linha. Para isso, vamos usar a segunda linha ( ) para eliminar o na terceira linha ( ).
Primeiro, vamos ajustar as linhas para facilitar:
Multiplicamos a segunda linha por 3 e a terceira linha por 2:
Agora, subtraímos :
A matriz atualizada fica:

Passo 6

Agora que temos a matriz triangular, vamos resolver de baixo para cima.
Da terceira linha:

Passo 7

Usando o valor de na segunda linha:

Passo 8

Finalmente, usando os valores de e na primeira linha:

Resposta

A solução do sistema é , e .

Exercícios relacionados

Seja , e consideremos a matriz cujas colunas são os vetores de (ver Q3.-).
Considere um s.e.v. de . Prove que gera se e somente se o sistema linear
tem ao menos uma solução para todo .
Conclui que gera se e somente se o sistema aumentado
é consistente para todo .
Estude a dependência ou independência linear dos conjuntos seguintes
.
Calcular para as matrizes: