Exercício 4. Resolva o seguinte sistema por eliminação gaussiana.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando eliminação gaussiana. O sistema que temos é:
Vamos precisar entender como transformar as equações para eliminar uma variável por vez e chegar nas soluções para
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa colocar os coeficientes das variáveis e os termos constantes em uma matriz:
Passo 3
Nosso objetivo é zerar os coeficientes abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (a posição [1,1]). Para isso, vamos usar a primeira linha para eliminar os
R2' = R2 - 2 times R1 das outras linhas.
Primeiro, vamos transformar a segunda linha (
R2' = [2 - 2 times 1, 4 - 2 times 1, -3 - 2 times 2, 1 - 2 times 9] = [0, 2, -7, -17] ):
A matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o
R3' = R3 - 3 times R1 da terceira linha (
R3' = [3 - 3 times 1, 6 - 3 times 1, -5 - 3 times 2, 0 - 3 times 9] = [0, 3, -11, -27] ) usando a primeira linha:
A matriz fica:
Passo 5
Agora, nosso foco é zerar o coeficiente abaixo do
R2'' = 3 times R2' = [0, 6, -21, -51] na segunda coluna da terceira linha. Para isso, vamos usar a segunda linha (
R3'' = 2 times R3' = [0, 6, -22, -54] ) para eliminar o
R3''' = R3'' - R2'' = [0 - 0, 6 - 6, -22 - (-21), -54 - (-51)] = [0, 0, -1, -3] na terceira linha (
1 & 1 & 2 & | & 9 0 & 2 & -7 & | & -17 0 & 0 & -1 & | & -3 ).
Primeiro, vamos ajustar as linhas para facilitar:
Multiplicamos a segunda linha por 3 e a terceira linha por 2:
Agora, subtraímos
:
A matriz atualizada fica:
Passo 6
Agora que temos a matriz triangular, vamos resolver de baixo para cima.
Da terceira linha:
Passo 7
Usando o valor de
2y - 7 times 3 = -17 implies 2y - 21 = -17 implies 2y = 4 implies y = 2 na segunda linha:
Passo 8
Finalmente, usando os valores de
x + 2 + 2 times 3 = 9 implies x + 2 + 6 = 9 implies x + 8 = 9 implies x = 1 e
na primeira linha:
Resposta
A solução do sistema é
,
e
.