Identifique a Superfície e desenhe a curva da intercepção com plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Geometria Analítica onde precisamos identificar a superfície definida pela equação e desenhar a curva que resulta da interseção dessa superfície com o plano . Para isso, vamos usar técnicas de álgebra para completar os quadrados e identificar o tipo de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação agrupando os termos de cada variável:
Agora, vamos completar o quadrado para cada variável separadamente.
Para o :
Completando o quadrado dentro do parêntese:
Então:
Para o :
Completando o quadrado:
Então:
Para o :
Completando o quadrado:
Então:

Passo 3

Agora, substituímos tudo de volta na equação original:
Vamos somar os termos constantes:
Então, a equação fica:
Subtraindo 5 de ambos os lados:
Para facilitar a identificação da superfície, vamos dividir ambos os lados por -4:
Simplificando as frações:

Passo 4

Observando a forma da equação, vemos que temos termos com sinais diferentes: um negativo e dois positivos. Isso caracteriza uma hiperboloide de uma folha. Esse tipo de superfície tem duas partes que se abrem em direções opostas.
Agora, vamos encontrar a curva de interseção com o plano . Para isso, substituímos na equação original:
Calculando:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 3 para simplificar:
Completando o quadrado novamente para e :
Isso resulta em:
Dividindo ambos os lados por :
Essa é a equação de uma hipérbole no plano .

Resposta

A superfície definida pela equação é um hiperboloide de uma folha. A curva de interseção dessa superfície com o plano é uma hipérbole descrita pela equação:

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