Identifique a Superfície 6 x^2-12 x-3 y^2-6 y-2 z^2- 8 z=1 e desenhe a curva da intercepção com plano z=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Geometria Analítica onde precisamos identificar a superfície definida pela equação e desenhar a curva que resulta da interseção dessa superfície com o plano . Para isso, vamos usar técnicas de álgebra para completar os quadrados e identificar o tipo de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação agrupando os termos de cada variável:
6x^2 - 12x - 3y^2 - 6y - 2z^2 - 8z = 1
Agora, vamos completar o quadrado para cada variável separadamente.
Para o 6x^2 - 12x = 6(x^2 - 2x) :
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
Completando o quadrado dentro do parêntese:
6(x^2 - 2x) = 6[(x - 1)^2 - 1] = 6(x - 1)^2 - 6
Então:
-3y^2 - 6y = -3(y^2 + 2y)
Para o y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1 :
-3(y^2 + 2y) = -3[(y + 1)^2 - 1] = -3(y + 1)^2 + 3
Completando o quadrado:
-2z^2 - 8z = -2(z^2 + 4z)
Então:
z^2 + 4z = (z + 2)^2 - 4
Para o -2(z^2 + 4z) = -2[(z + 2)^2 - 4] = -2(z + 2)^2 + 8 :
Completando o quadrado:
Então:

Passo 3

Agora, substituímos tudo de volta na equação original:
6(x - 1)^2 - 6 - 3(y + 1)^2 + 3 - 2(z + 2)^2 + 8 = 1
Vamos somar os termos constantes:
-6 + 3 + 8 = 5
Então, a equação fica:
6(x - 1)^2 - 3(y + 1)^2 - 2(z + 2)^2 + 5 = 1
Subtraindo 5 de ambos os lados:
6(x - 1)^2 - 3(y + 1)^2 - 2(z + 2)^2 = -4
Para facilitar a identificação da superfície, vamos dividir ambos os lados por -4:
- 64(x - 1)^2 + 34(y + 1)^2 + 24(z + 2)^2 = 1
Simplificando as frações:
- 32(x - 1)^2 + 34(y + 1)^2 + 12(z + 2)^2 = 1

Passo 4

Observando a forma da equação, vemos que temos termos com sinais diferentes: um negativo e dois positivos. Isso caracteriza uma hiperboloide de uma folha. Esse tipo de superfície tem duas partes que se abrem em direções opostas.
Agora, vamos encontrar a curva de interseção com o plano 6x^2 - 12x - 3y^2 - 6y - 2(2)^2 - 8(2) = 1 . Para isso, substituímos 6x^2 - 12x - 3y^2 - 6y - 8 - 16 = 1 na equação original:
6x^2 - 12x - 3y^2 - 6y = 25
Calculando:
2x^2 - 4x - y^2 - 2y = 253
Simplificando:
2(x^2 - 2x + 1) - 2 - (y^2 + 2y + 1) + 1 = 253
Dividindo ambos os lados por 3 para simplificar:
2(x - 1)^2 - (y + 1)^2 = 253 +2 -1 = 253 +1 = 283
Completando o quadrado novamente para (x - 1)^2143 - (y + 1)^2283 = 1 e :
Isso resulta em:
Dividindo ambos os lados por :
Essa é a equação de uma hipérbole no plano .

Resposta

A superfície definida pela equação (x - 1)^2143 - (y + 1)^2283 = 1 é um hiperboloide de uma folha. A curva de interseção dessa superfície com o plano é uma hipérbole descrita pela equação:

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