Dada a elipse de equação:
4 x^2+9 y^2-8 x-36 y+4=0
Equação reduzida

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação de uma elipse:
4x^2 + 9y^2 -8x -36y +4 =0
O que queremos é transformar essa equação na forma reduzida da elipse, que facilita identificar características como o centro, eixos maior e menor. Para isso, vamos precisar completar o quadrado para as variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de 4x^2 -8x + 9y^2 -36y = -4 e os de :
Isso facilita o processo de completar o quadrado separadamente para cada variável.

Passo 3

Vamos completar o quadrado para os termos de 4(x^2 -2x) + 9y^2 -36y = -4 . Primeiro, colocamos o coeficiente de 4[(x^2 -2x +1) -1] + 9y^2 -36y = -4 em evidência:
4(x-1)^2 -4 + 9y^2 -36y = -4
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Para , pegamos metade do coeficiente de (-2), que é -1, e elevamos ao quadrado, ficando 1. Adicionamos e subtraímos esse valor:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de 4(x-1)^2 -4 + 9(y^2 -4y) = -4 . Primeiro, colocamos o coeficiente de 4(x-1)^2 -4 + 9[(y^2 -4y +4) -4] = -4 em evidência:
4(x-1)^2 -4 + 9(y-2)^2 -36 = -4
Completando o quadrado para , pegamos metade de -4, que é -2, e elevamos ao quadrado, ficando 4. Adicionamos e subtraímos esse valor:
Simplificando:

Passo 5

Vamos agora juntar tudo e simplificar a equação:
4(x-1)^2 + 9(y-2)^2 -40 = -4
Adicionamos 40 dos dois lados:
4(x-1)^2 + 9(y-2)^2 = 36

Passo 6

Para chegar à forma reduzida, dividimos todos os termos por 36:
4(x-1)^236 + 9(y-2)^236 = 1
Simplificando as frações:
(x-1)^29 + (y-2)^24 = 1

Resposta

A equação reduzida da elipse é:
(x-1)^29 + (y-2)^24 = 1

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