Dada a elipse de equação:
Equação reduzida
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação de uma elipse:
O que queremos é transformar essa equação na forma reduzida da elipse, que facilita identificar características como o centro, eixos maior e menor. Para isso, vamos precisar completar o quadrado para as variáveis
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de
e os de
:
Isso facilita o processo de completar o quadrado separadamente para cada variável.
Passo 3
Vamos completar o quadrado para os termos de
. Primeiro, colocamos o coeficiente de
em evidência:
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Para
, pegamos metade do coeficiente de
(-2), que é -1, e elevamos ao quadrado, ficando 1. Adicionamos e subtraímos esse valor:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de
. Primeiro, colocamos o coeficiente de
em evidência:
Completando o quadrado para
, pegamos metade de -4, que é -2, e elevamos ao quadrado, ficando 4. Adicionamos e subtraímos esse valor:
Simplificando:
Passo 5
Vamos agora juntar tudo e simplificar a equação:
Adicionamos 40 dos dois lados:
Passo 6
Para chegar à forma reduzida, dividimos todos os termos por 36:
Simplificando as frações:
Resposta
A equação reduzida da elipse é: