Entre os conjuntos seguintes, encontre aquilos que são s.e.v de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial (s.e.v) de
. Para isso, vamos precisar entender os critérios que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, um subespaço vetorial deve satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - Fechado sob adição: Se tiver dois vetores no conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se tiver um vetor no conjunto, qualquer múltiplo dele por um número real também deve estar no conjunto.
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 4
1. Verificar se contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz as condições de
:
-
→ ✔️ -
→ ✔️
Então, o vetor zero está em
.
Passo 5
2. Verificar se é fechado sob adição:
Sejam dois vetores
e
em
. Então:
-
e -
e
A soma
. Vamos verificar se:
-
→ e implicam ✔️ -
→ e implicam ✔️
Portanto, a soma está em
.
Passo 6
3. Verificar se é fechado sob multiplicação por escalar:
Seja um vetor
em
e um escalar
. O vetor
. Vamos verificar:
-
→ implica ✔️ -
→ implica ✔️
Assim, qualquer múltiplo escalar de
está em
.
Resposta
O conjunto
satisfaz todas as condições de um subespaço vetorial de
, portanto,
é um subespaço vetorial de
.