Entre os conjuntos seguintes, encontre aquilos que são s.e.v de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial (s.e.v) de . Para isso, vamos precisar entender os critérios que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, um subespaço vetorial deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se tiver dois vetores no conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se tiver um vetor no conjunto, qualquer múltiplo dele por um número real também deve estar no conjunto.

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 4

1. Verificar se contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz as condições de :
  • ✔️
  • ✔️
Então, o vetor zero está em .

Passo 5

2. Verificar se é fechado sob adição:
Sejam dois vetores e em . Então:
  • e
  • e
A soma . Vamos verificar se:
  • e implicam ✔️
  • e implicam ✔️
Portanto, a soma está em .

Passo 6

3. Verificar se é fechado sob multiplicação por escalar:
Seja um vetor em e um escalar . O vetor . Vamos verificar:
  • implica ✔️
  • implica ✔️
Assim, qualquer múltiplo escalar de está em .

Resposta

O conjunto satisfaz todas as condições de um subespaço vetorial de , portanto, é um subespaço vetorial de .

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.
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