Entre os conjuntos seguintes, encontre aquilos que são s.e.v de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial (s.e.v) de . Para isso, vamos precisar entender os critérios que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, um subespaço vetorial deve satisfazer três condições:
Contém o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
Fechado sob adição: Se tiver dois vetores no conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto.
Fechado sob multiplicação por escalar: Se tiver um vetor no conjunto, qualquer múltiplo dele por um número real também deve estar no conjunto.
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas condições para .
Passo 4
1. Verificar se contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz as condições de :
→ ✔️
→ ✔️
Então, o vetor zero está em .
Passo 5
2. Verificar se é fechado sob adição:
Sejam dois vetores e em . Então:
e
e
A soma . Vamos verificar se:
→ e implicam ✔️
→ e implicam ✔️
Portanto, a soma está em .
Passo 6
3. Verificar se é fechado sob multiplicação por escalar:
Seja um vetor em e um escalar . O vetor . Vamos verificar:
→ implica ✔️
→ implica ✔️
Assim, qualquer múltiplo escalar de está em .
Resposta
O conjunto satisfaz todas as condições de um subespaço vetorial de , portanto, é um subespaço vetorial de .