Estude se os conjuntos seguintes são uma base de R^4 :
(l1 0 1 1),(c1 -1 1 1),(c0 -1 0 1),(c0 -1 0 5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se um conjunto de quatro vetores em forma uma base. O conteúdo que vamos precisar aqui é sobre bases vetoriais e independência linear. Basicamente, para que esses vetores sejam uma base, eles precisam ser linearmente independentes e gerar todo o espaço . Vamos precisar montar uma matriz com esses vetores e verificar se a matriz tem posto 4, ou seja, se todas as colunas são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os vetores que foram dados na questão:
v1 = 1 0 1 1 , v2 = 1 -1 1 1 , v3 = 0 -1 0 1 , v4 = 0 -1 0 5
Vamos montar uma matriz A = 1 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & -1 & -1 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 5 onde cada coluna é um desses vetores:

Passo 3

Agora, vamos realizar operações de escalonamento na matriz R3 = R3 - R1 Rightarrow 1 & 1 & 0 & 0 - 1 & 1 & 0 & 0 = 0 & 0 & 0 & 0 para simplificá-la e verificar se conseguimos chegar a uma matriz identidade de ordem 4. Se conseguirmos, significa que as colunas são independentes e, portanto, formam uma base.
Primeiro, observamos que a primeira coluna já tem um 1 na primeira posição. Vamos usar esse 1 para zerar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
  • Eliminar o elemento na segunda linha, primeira coluna:
A segunda linha já tem 0, então não precisamos fazer nada.
  • Eliminar o elemento na terceira linha, primeira coluna:
Subtraímos a primeira linha da terceira linha:
R4 = R4 - R1 Rightarrow 1 & 1 & 1 & 5 - 1 & 1 & 0 & 0 = 0 & 0 & 1 & 5
  • Eliminar o elemento na quarta linha, primeira coluna:
Subtraímos a primeira linha da quarta linha:
A = 1 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & -1 & -1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 5
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Observamos que a terceira linha está completamente zerada. Isso já indica que há dependência linear entre os vetores, pois não conseguimos preencher todas as dimensões do espaço R2 = -1 cdot R2 Rightarrow 0 & -1 & -1 & -1 times -1 = 0 & 1 & 1 & 1 com combinações lineares dos vetores dados. Mas vamos continuar para confirmar.
Vamos focar na segunda coluna. O segundo pivô está na segunda linha, segunda coluna.
  • Normalizar a segunda linha:
Multiplicamos a segunda linha por -1 para trazer o pivô para 1:
A = 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 5
Agora, nossa matriz é:

Passo 5

Vamos eliminar os elementos acima e abaixo do pivô na segunda coluna.
  • Eliminar o elemento na primeira linha, segunda coluna:
Subtraímos a segunda linha da primeira linha:
R1 = R1 - R2 Rightarrow 1 & 1 & 0 & 0 - 0 & 1 & 1 & 1 = 1 & 0 & -1 & -1
  • Eliminar o elemento na quarta linha, segunda coluna:
Já está zero, então não precisamos fazer nada.
A matriz agora fica assim:
A = 1 & 0 & -1 & -1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 5

Passo 6

Agora, vamos olhar para a terceira coluna. O pivô está na quarta linha, terceira coluna.
  • Normalizar a quarta linha:
O pivô já é 1, então não precisamos fazer nada.
Vamos eliminar os elementos acima desse pivô na terceira coluna.
  • Eliminar o elemento na primeira linha, terceira coluna:
Adicionamos a quarta linha à primeira linha:
R1 = R1 + R4 Rightarrow 1 & 0 & -1 & -1 + 0 & 0 & 1 & 5 = 1 & 0 & 0 & 4
  • Eliminar o elemento na segunda linha, terceira coluna:
Subtraímos a quarta linha da segunda linha:
R2 = R2 - R4 Rightarrow 0 & 1 & 1 & 1 - 0 & 0 & 1 & 5 = 0 & 1 & 0 & -4
Agora, a matriz está assim:
A = 1 & 0 & 0 & 4 0 & 1 & 0 & -4 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 5

Passo 7

Por fim, vamos olhar para a quarta coluna. Já que a terceira linha está zerada, isso confirma que há dependência linear entre os vetores. Além disso, o posto da matriz é 3, pois temos três pivôs (nas colunas 1, 2 e 3), o que é menor que 4. Isso significa que os vetores não são linearmente independentes e, portanto, não formam uma base para .

Resposta

Os conjuntos fornecidos não formam uma base de porque os vetores são linearmente dependentes.

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