Estude se os conjuntos seguintes são uma base de :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se um conjunto de quatro vetores em forma uma base. O conteúdo que vamos precisar aqui é sobre bases vetoriais e independência linear. Basicamente, para que esses vetores sejam uma base, eles precisam ser linearmente independentes e gerar todo o espaço . Vamos precisar montar uma matriz com esses vetores e verificar se a matriz tem posto 4, ou seja, se todas as colunas são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os vetores que foram dados na questão:
Vamos montar uma matriz onde cada coluna é um desses vetores:

Passo 3

Agora, vamos realizar operações de escalonamento na matriz para simplificá-la e verificar se conseguimos chegar a uma matriz identidade de ordem 4. Se conseguirmos, significa que as colunas são independentes e, portanto, formam uma base.
Primeiro, observamos que a primeira coluna já tem um 1 na primeira posição. Vamos usar esse 1 para zerar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
  • Eliminar o elemento na segunda linha, primeira coluna:
A segunda linha já tem 0, então não precisamos fazer nada.
  • Eliminar o elemento na terceira linha, primeira coluna:
Subtraímos a primeira linha da terceira linha:
  • Eliminar o elemento na quarta linha, primeira coluna:
Subtraímos a primeira linha da quarta linha:
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Observamos que a terceira linha está completamente zerada. Isso já indica que há dependência linear entre os vetores, pois não conseguimos preencher todas as dimensões do espaço com combinações lineares dos vetores dados. Mas vamos continuar para confirmar.
Vamos focar na segunda coluna. O segundo pivô está na segunda linha, segunda coluna.
  • Normalizar a segunda linha:
Multiplicamos a segunda linha por -1 para trazer o pivô para 1:
Agora, nossa matriz é:

Passo 5

Vamos eliminar os elementos acima e abaixo do pivô na segunda coluna.
  • Eliminar o elemento na primeira linha, segunda coluna:
Subtraímos a segunda linha da primeira linha:
  • Eliminar o elemento na quarta linha, segunda coluna:
Já está zero, então não precisamos fazer nada.
A matriz agora fica assim:

Passo 6

Agora, vamos olhar para a terceira coluna. O pivô está na quarta linha, terceira coluna.
  • Normalizar a quarta linha:
O pivô já é 1, então não precisamos fazer nada.
Vamos eliminar os elementos acima desse pivô na terceira coluna.
  • Eliminar o elemento na primeira linha, terceira coluna:
Adicionamos a quarta linha à primeira linha:
  • Eliminar o elemento na segunda linha, terceira coluna:
Subtraímos a quarta linha da segunda linha:
Agora, a matriz está assim:

Passo 7

Por fim, vamos olhar para a quarta coluna. Já que a terceira linha está zerada, isso confirma que há dependência linear entre os vetores. Além disso, o posto da matriz é 3, pois temos três pivôs (nas colunas 1, 2 e 3), o que é menor que 4. Isso significa que os vetores não são linearmente independentes e, portanto, não formam uma base para .

Resposta

Os conjuntos fornecidos não formam uma base de porque os vetores são linearmente dependentes.

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Estude se os conjuntos de vetores seguintes geram :
Estude a dependência ou independência linear dos conjuntos seguintes
.
Entre os conjuntos seguintes, encontre aquilos que são s.e.v de .