Estude se os conjuntos seguintes são uma base de :
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se um conjunto de quatro vetores em forma uma base. O conteúdo que vamos precisar aqui é sobre bases vetoriais e independência linear. Basicamente, para que esses vetores sejam uma base, eles precisam ser linearmente independentes e gerar todo o espaço . Vamos precisar montar uma matriz com esses vetores e verificar se a matriz tem posto 4, ou seja, se todas as colunas são independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever os vetores que foram dados na questão:
Vamos montar uma matriz A = 1 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & -1 & -1 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 5 onde cada coluna é um desses vetores:
Passo 3
Agora, vamos realizar operações de escalonamento na matriz R3 = R3 - R1 Rightarrow 1 & 1 & 0 & 0 - 1 & 1 & 0 & 0 = 0 & 0 & 0 & 0 para simplificá-la e verificar se conseguimos chegar a uma matriz identidade de ordem 4. Se conseguirmos, significa que as colunas são independentes e, portanto, formam uma base.
Primeiro, observamos que a primeira coluna já tem um 1 na primeira posição. Vamos usar esse 1 para zerar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
Eliminar o elemento na segunda linha, primeira coluna:
A segunda linha já tem 0, então não precisamos fazer nada.
Eliminar o elemento na terceira linha, primeira coluna:
Observamos que a terceira linha está completamente zerada. Isso já indica que há dependência linear entre os vetores, pois não conseguimos preencher todas as dimensões do espaço R2 = -1 cdot R2 Rightarrow 0 & -1 & -1 & -1 times -1 = 0 & 1 & 1 & 1 com combinações lineares dos vetores dados. Mas vamos continuar para confirmar.
Vamos focar na segunda coluna. O segundo pivô está na segunda linha, segunda coluna.
Normalizar a segunda linha:
Multiplicamos a segunda linha por -1 para trazer o pivô para 1:
Por fim, vamos olhar para a quarta coluna. Já que a terceira linha está zerada, isso confirma que há dependência linear entre os vetores. Além disso, o posto da matriz é 3, pois temos três pivôs (nas colunas 1, 2 e 3), o que é menor que 4. Isso significa que os vetores não são linearmente independentes e, portanto, não formam uma base para .
Resposta
Os conjuntos fornecidos não formam uma base de porque os vetores são linearmente dependentes.