Exercício 5. Resolva os seguintes sistemas por eliminaçâo de Gauss-Jordan.
(a) x1+x2+2 x3= & 8 -x1-2 x2+3 x3 & =1 3 x1-7 x2+4 x3 & =10 x-y+2 z-w & =-1 x-y-2 z-2 w & =-2 2 x+y & =1 -x+2 y-4 z+w & =-3

Passo 1

Vamos resolver um sistema de equações usando o método de Eliminação de Gauss-Jordan. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e realizar operações para chegar à forma reduzida, facilitando encontrar os valores das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações em forma de matriz aumentada. As equações dadas são:
x1 + x2 + 2x3 = 8 -x1 - 2x2 + 3x3 = 1 3x1 - 7x2 + 4x3 = 10 x - y + 2z - w = -1 x - y - 2z - 2w = -2 2x + y = 1 -x + 2y - 4z + w = -3
Vamos considerar que as variáveis estão representadas como x + y + 2z + 0w = 8 -x - 2y + 3z + 0w = 1 3x - 7y + 4z + 0w = 10 x - y + 2z - w = -1 x - y - 2z - 2w = -2 2x + y + 0z + 0w = 1 -x + 2y - 4z + w = -3 . Então, ajustando as equações:
1 & 1 & 2 & 0 & | & 8 -1 & -2 & 3 & 0 & | & 1 3 & -7 & 4 & 0 & | & 10 1 & -1 & 2 & -1 & | & -1 1 & -1 & -2 & -2 & | & -2 2 & 1 & 0 & 0 & | & 1 -1 & 2 & -4 & 1 & | & -3
A matriz aumentada fica:

Passo 3

O próximo passo é transformar essa matriz em forma escalonada reduzida. Vamos começar zerando abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
Primeiro, mantenha a primeira linha como está:
1 & 1 & 2 & 0 & | & 8 -1 & -2 & 3 & 0 & | & 1 3 & -7 & 4 & 0 & | & 10 1 & -1 & 2 & -1 & | & -1 1 & -1 & -2 & -2 & | & -2 2 & 1 & 0 & 0 & | & 1 -1 & 2 & -4 & 1 & | & -3
Agora, somamos a primeira linha à segunda, terceira, quarta, quinta, sexta e sétima linhas para eliminar o 1 & 1 & 2 & 0 & | & 8 0 & -1 & 5 & 0 & | & 9 0 & -4 & -2 & 0 & | & -14 0 & 0 & 4 & -1 & | & 7 0 & 0 & 0 & -2 & | & 6 0 & 3 & 4 & 0 & | & 17 0 & 3 & -6 & 1 & | & 5 dessas linhas.
Após as operações:

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. O objetivo é ter um 1 na segunda posição da segunda linha. Já temos -1, então multiplicamos a segunda linha por -1:
1 & 1 & 2 & 0 & | & 8 0 & 1 & -5 & 0 & | & -9 0 & -4 & -2 & 0 & | & -14 0 & 0 & 4 & -1 & | & 7 0 & 0 & 0 & -2 & | & 6 0 & 3 & 4 & 0 & | & 17 0 & 3 & -6 & 1 & | & 5
Em seguida, usamos a segunda linha para zerar as demais entradas na segunda coluna:
  • Para a terceira linha: adicionar 4 vezes a segunda linha.
  • Para a sexta e sétima linhas: subtrair 3 vezes a segunda linha.
Após essas operações:
1 & 1 & 2 & 0 & | & 8 0 & 1 & -5 & 0 & | & -9 0 & 0 & -22 & 0 & | & -50 0 & 0 & 4 & -1 & | & 7 0 & 0 & 0 & -2 & | & 6 0 & 0 & 19 & 0 & | & 44 0 & 0 & 9 & 1 & | & 32

Passo 5

Agora, vamos trabalhar na terceira coluna. Queremos ter um 1 na posição (3,3). Atualmente, temos -22 na terceira linha. Dividimos a terceira linha por -22:
1 & 1 & 2 & 0 & | & 8 0 & 1 & -5 & 0 & | & -9 0 & 0 & 1 & 0 & | & 2511 0 & 0 & 4 & -1 & | & 7 0 & 0 & 0 & -2 & | & 6 0 & 0 & 19 & 0 & | & 44 0 & 0 & 9 & 1 & | & 32
Agora, usamos a terceira linha para zerar as demais entradas na terceira coluna:
  • Para a primeira linha: subtrair 2 vezes a terceira linha.
  • Para a segunda linha: adicionar 5 vezes a terceira linha.
  • Para a quarta linha: subtrair 4 vezes a terceira linha.
  • Para a sexta linha: subtrair 19 vezes a terceira linha.
  • Para a sétima linha: subtrair 9 vezes a terceira linha.
Após essas operações:
1 & 1 & 0 & 0 & | & 5811 0 & 1 & 0 & 0 & | & -2011 0 & 0 & 1 & 0 & | & 2511 0 & 0 & 0 & -1 & | & 3211 0 & 0 & 0 & -2 & | & 6 0 & 0 & 0 & 0 & | & 10911 0 & 0 & 0 & 1 & | & 4711

Passo 6

Vamos agora trabalhar na quarta coluna. Queremos ter um 1 na posição (4,4). Atualmente, na quarta linha, temos -1. Multiplicamos a quarta linha por -1:
1 & 1 & 0 & 0 & | & 5811 0 & 1 & 0 & 0 & | & -2011 0 & 0 & 1 & 0 & | & 2511 0 & 0 & 0 & 1 & | & -3211 0 & 0 & 0 & -2 & | & 6 0 & 0 & 0 & 0 & | & 10911 0 & 0 & 0 & 1 & | & 4711
Em seguida, usamos a quarta linha para zerar as demais entradas na quarta coluna:
  • Para a quinta linha: adicionar 2 vezes a quarta linha.
  • Para a sétima linha: subtrair a quarta linha.
Após essas operações:
1 & 1 & 0 & 0 & | & 5811 0 & 1 & 0 & 0 & | & -2011 0 & 0 & 1 & 0 & | & 2511 0 & 0 & 0 & 1 & | & -3211 0 & 0 & 0 & 0 & | & 211 0 & 0 & 0 & 0 & | & 10911 0 & 0 & 0 & 0 & | & 7911

Passo 7

Observamos que as últimas três linhas têm apenas zeros nas colunas das variáveis e valores constantes diferentes de zero, o que indica inconsistência no sistema (contradição). Portanto, não há solução para este sistema de equações.

Resposta

Não existe solução para o sistema dado, pois ele é inconsistente.

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