Estude se os conjuntos de vetores seguintes geram :

Passo 1

Então, temos um exercício de Álgebra Linear onde precisamos verificar se um conjunto de quatro vetores em consegue “gerar” todo o espaço . Ou seja, queremos saber se, combinando esses vetores de diferentes maneiras, conseguimos alcançar qualquer ponto nesse espaço de quatro dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como combinação linear, geração de espaço vetorial e, principalmente, como verificar a independência linear desses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os vetores fornecidos em forma de matriz, onde cada vetor é uma coluna da matriz:

Passo 3

Para descobrir se esses vetores geram , precisamos verificar se a matriz tem posto 4, ou seja, se suas colunas são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para . Se conseguirmos reduzir essa matriz a uma forma escalonada com pivôs em todas as quatro colunas, então os vetores são independentes e geram o espaço.

Passo 4

Vamos começar realizando operações de linha para transformar a matriz em uma forma mais simples. Primeiro, vamos usar o primeiro elemento da primeira linha como pivô e eliminar os elementos abaixo dele na primeira coluna.
Subtraindo a primeira linha da terceira e quarta linhas:

Passo 5

Agora, observamos o segundo pivô na segunda linha e segunda coluna. Vamos usá-lo para eliminar os elementos abaixo e acima dele na mesma coluna.
Multiplicando a segunda linha por -1:
Como a terceira linha já está com zero na segunda coluna, não precisamos fazer mais nada nessa etapa.

Passo 6

Agora, vamos para a terceira coluna. Observamos que na terceira linha, o elemento é 0 na terceira coluna, então vamos trocar a terceira e quarta linhas para trazer um pivô não nulo para a posição.

Passo 7

Finalmente, vamos verificar o último pivô na quarta linha e quarta coluna. Ele já está adequado, pois é igual a 2. Agora, nossa matriz está na forma escalonada e cada coluna tem um pivô distinto.

Passo 8

Como conseguimos obter pivôs em todas as quatro colunas da matriz, isso significa que os vetores são linearmente independentes e, portanto, eles geram . Ou seja, qualquer vetor nesse espaço pode ser formado como uma combinação linear desses quatro vetores.

Resposta

Sim, os vetores fornecidos geram todo o espaço .

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