Consider an elastic string of length
whose ends are held fixed. The string is set in motion from its equilibrium position com uma velocidade inicial
. In each of Problems 5 through 8 , carry out the following steps. Let
e
em partes (b) através (d).
a. Find the displacement
for the given
.
7.
a. Find the displacement
7.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma corda elástica de comprimento
unidades, com as extremidades fixas. A corda é inicialmente perturbada a partir da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial dada por
, onde
. Nosso objetivo é encontrar a função de deslocamento
que descreve a posição da corda em qualquer ponto
e tempo
. Para resolver isso, vamos usar a teoria das ondas em cordas vibrantes, aplicando a equação da onda e a expansão em séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que a equação que governa o movimento da corda é a equação da onda unidimensional:
onde
é a velocidade da onda na corda, e os subscritos denotam derivadas parciais em relação ao tempo (
) e ao espaço (
).
Passo 3
As condições de contorno são
e
, já que as extremidades da corda estão fixas. A condição inicial de deslocamento é
(posição de equilíbrio), e a condição inicial de velocidade é
.
Passo 4
Para resolver a equação da onda com essas condições, usamos a separação de variáveis e expandimos a solução em termos de séries de Fourier. A solução geral pode ser escrita como:
onde
são as frequências naturais da corda, e
,
são os coeficientes a serem determinados pelas condições iniciais.
Passo 5
Como a condição inicial de deslocamento é nula (
), isso implica que os termos com
devem desaparecer, ou seja,
. Portanto, a solução simplifica para:
Agora, precisamos determinar os coeficientes
usando a condição inicial de velocidade
.
Passo 6
Calculando a derivada temporal de
:
Aplicando a condição inicial
:
Para encontrar
, usamos a ortogonalidade das funções senoidais e calculamos os coeficientes da série de Fourier de
.
Passo 7
Os coeficientes
são dados por:
Substituindo
e
(já que
e
):
Simplificando:
Passo 8
Agora, precisamos calcular a integral
. Esse cálculo pode ser feito por integração por partes ou utilizando tabelas de integrais. Após calcular
, substituímos de volta em
.
Por exemplo, após calcular
, teríamos:
Finalmente, substituímos
na expressão da solução geral:
Resposta
A solução para o deslocamento da corda é dada por:
Esta expressão descreve como a corda vibra ao longo do tempo, considerando a velocidade inicial especificada.