Consider an elastic string of length whose ends are held fixed. The string is set in motion from its equilibrium position com uma velocidade inicial . In each of Problems 5 through 8 , carry out the following steps. Let e em partes (b) através (d).
a. Find the displacement for the given .
7.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma corda elástica de comprimento unidades, com as extremidades fixas. A corda é inicialmente perturbada a partir da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial dada por , onde . Nosso objetivo é encontrar a função de deslocamento que descreve a posição da corda em qualquer ponto e tempo . Para resolver isso, vamos usar a teoria das ondas em cordas vibrantes, aplicando a equação da onda e a expansão em séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que a equação que governa o movimento da corda é a equação da onda unidimensional:
onde é a velocidade da onda na corda, e os subscritos denotam derivadas parciais em relação ao tempo () e ao espaço ().
Passo 3
As condições de contorno são e , já que as extremidades da corda estão fixas. A condição inicial de deslocamento é (posição de equilíbrio), e a condição inicial de velocidade é .
Passo 4
Para resolver a equação da onda com essas condições, usamos a separação de variáveis e expandimos a solução em termos de séries de Fourier. A solução geral pode ser escrita como:
onde são as frequências naturais da corda, e , são os coeficientes a serem determinados pelas condições iniciais.
Passo 5
Como a condição inicial de deslocamento é nula (), isso implica que os termos com devem desaparecer, ou seja, . Portanto, a solução simplifica para:
Agora, precisamos determinar os coeficientes usando a condição inicial de velocidade .
Passo 6
Calculando a derivada temporal de :
Aplicando a condição inicial :
Para encontrar , usamos a ortogonalidade das funções senoidais e calculamos os coeficientes da série de Fourier de .
Passo 7
Os coeficientes são dados por:
Substituindo e (já que e ):
Simplificando:
Passo 8
Agora, precisamos calcular a integral . Esse cálculo pode ser feito por integração por partes ou utilizando tabelas de integrais. Após calcular , substituímos de volta em .
Por exemplo, após calcular , teríamos:
Finalmente, substituímos na expressão da solução geral:
Resposta
A solução para o deslocamento da corda é dada por:
Esta expressão descreve como a corda vibra ao longo do tempo, considerando a velocidade inicial especificada.