Consider an elastic string of length L whose ends are held fixed. The string is set in motion from its equilibrium position com uma velocidade inicial u_t(x, 0) = g(x). In each of Problems 5 through 8 , carry out the following steps. Let L=10 e a = 1 em partes (b) através (d).
a. Find the displacement u(x, t) for the given g(x).
7. g(x) = 8 x (L - x)² / L³

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma corda elástica de comprimento unidades, com as extremidades fixas. A corda é inicialmente perturbada a partir da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial dada por , onde . Nosso objetivo é encontrar a função de deslocamento que descreve a posição da corda em qualquer ponto e tempo . Para resolver isso, vamos usar a teoria das ondas em cordas vibrantes, aplicando a equação da onda e a expansão em séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que a equação que governa o movimento da corda é a equação da onda unidimensional:
onde é a velocidade da onda na corda, e os subscritos denotam derivadas parciais em relação ao tempo ( ) e ao espaço ( ).

Passo 3

As condições de contorno são e , já que as extremidades da corda estão fixas. A condição inicial de deslocamento é (posição de equilíbrio), e a condição inicial de velocidade é .

Passo 4

Para resolver a equação da onda com essas condições, usamos a separação de variáveis e expandimos a solução em termos de séries de Fourier. A solução geral pode ser escrita como:
onde são as frequências naturais da corda, e , são os coeficientes a serem determinados pelas condições iniciais.

Passo 5

Como a condição inicial de deslocamento é nula ( ), isso implica que os termos com devem desaparecer, ou seja, . Portanto, a solução simplifica para:
Agora, precisamos determinar os coeficientes usando a condição inicial de velocidade .

Passo 6

Calculando a derivada temporal de :
Aplicando a condição inicial :
Para encontrar , usamos a ortogonalidade das funções senoidais e calculamos os coeficientes da série de Fourier de .

Passo 7

Os coeficientes são dados por:
Substituindo e (já que e ):
Simplificando:

Passo 8

Agora, precisamos calcular a integral . Esse cálculo pode ser feito por integração por partes ou utilizando tabelas de integrais. Após calcular , substituímos de volta em .
Por exemplo, após calcular , teríamos:
Finalmente, substituímos na expressão da solução geral:

Resposta

A solução para o deslocamento da corda é dada por:
Esta expressão descreve como a corda vibra ao longo do tempo, considerando a velocidade inicial especificada.

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