Consider an elastic string of length . The end is held fixed, while the end is free; thus the boundary conditions are and . The string is set in motion with no initial velocity from the initial position , onde
d. Construct an animation of the solution in time for at least one period.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre uma corda elástica que está vibrando. A corda tem comprimento , com uma extremidade fixa em e a outra livre em . As condições iniciais nos dizem que a corda começa sem velocidade e com uma forma inicial específica . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre a equação das ondas e métodos de resolução de equações diferenciais parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a movimentação da corda é descrita pela equação das ondas:
onde representa o deslocamento da corda no ponto e no tempo , e é a velocidade da onda na corda.

Passo 3

As condições de contorno são (extremidade fixa) e (extremidade livre). Essas condições nos ajudam a determinar as funções próprias da solução.

Passo 4

Usaremos o método da separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de uma função dependente de e outra dependente de :
Substituindo isso na equação das ondas e separando as variáveis, conseguimos duas equações diferenciais ordinárias.

Passo 5

Resolvendo a equação espacial, encontramos as funções próprias que satisfazem as condições de contorno. Para a nossa condição , as funções próprias são do tipo:
onde é um número inteiro.

Passo 6

A solução geral é uma soma infinita dessas funções próprias multiplicadas por funções temporais:
Os coeficientes são determinados pela condição inicial através da série de Fourier.

Passo 7

Para encontrar os coeficientes , projetamos nas funções próprias:
Calculando esses inteiros para a função dada, obtemos os valores de .

Passo 8

Com todos os determinados, podemos escrever a solução completa . Para construir uma animação, podemos usar software como Python com Matplotlib ou MATLAB para plotar para diferentes valores de , mostrando como a corda vibra ao longo do tempo.

Resposta

A solução da movimentação da corda é dada por
onde os coeficientes são calculados por
Com essa expressão, podemos construir uma animação que mostra a vibração da corda ao longo do tempo.

Exercícios relacionados

Explique o significado de cada uma das notações a seguir.
(a)
(b)
Problems 13 and 14 indicate the form of the general solution of the wave equation and the physical significance of the constant .
a. Show that the wave equation
can be reduced to the form by the change of variables .
Problems 13 and 14 indicate the form of the general solution of the wave equation and the physical significance of the constant .
b. Show that can be written as
where and são funções arbitrárias.
Classifique cada funçāo como uma função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmica.
  1. (a)
    (b)
    ©
    (e)
    (d)
    (f)