Consider an elastic string of length L. The end x = 0 is held fixed, while the end x = L is free; thus the boundary conditions are u(0, t) = 0 and u_x(L, t) = 0. The string is set in motion with no initial velocity from the initial position u(x, 0) = f(x), onde
f(x) = { 0, 0 <= x <= L/2 - 1; 1, L/2 - 1 < x < L/2 + 1 ( assume L > 2 ); 0, L/2 + 1 <= x <= 1 }
d. Construct an animation of the solution in time for at least one period.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre uma corda elástica que está vibrando. A corda tem comprimento , com uma extremidade fixa em e a outra livre em . As condições iniciais nos dizem que a corda começa sem velocidade e com uma forma inicial específica . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre a equação das ondas e métodos de resolução de equações diferenciais parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a movimentação da corda é descrita pela equação das ondas:
onde representa o deslocamento da corda no ponto e no tempo , e é a velocidade da onda na corda.

Passo 3

As condições de contorno são (extremidade fixa) e (extremidade livre). Essas condições nos ajudam a determinar as funções próprias da solução.

Passo 4

Usaremos o método da separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de uma função dependente de e outra dependente de :
Substituindo isso na equação das ondas e separando as variáveis, conseguimos duas equações diferenciais ordinárias.

Passo 5

Resolvendo a equação espacial, encontramos as funções próprias que satisfazem as condições de contorno. Para a nossa condição , as funções próprias são do tipo:
onde é um número inteiro.

Passo 6

A solução geral é uma soma infinita dessas funções próprias multiplicadas por funções temporais:
Os coeficientes são determinados pela condição inicial através da série de Fourier.

Passo 7

Para encontrar os coeficientes , projetamos nas funções próprias:
Calculando esses inteiros para a função dada, obtemos os valores de .

Passo 8

Com todos os determinados, podemos escrever a solução completa . Para construir uma animação, podemos usar software como Python com Matplotlib ou MATLAB para plotar para diferentes valores de , mostrando como a corda vibra ao longo do tempo.

Resposta

A solução da movimentação da corda é dada por
onde os coeficientes são calculados por
Com essa expressão, podemos construir uma animação que mostra a vibração da corda ao longo do tempo.

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