Consider an elastic string of length . The end is held fixed, while the end is free; thus the boundary conditions are and . The string is set in motion with no initial velocity from the initial position , onde
d. Construct an animation of the solution in time for at least one period.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre uma corda elástica que está vibrando. A corda tem comprimento , com uma extremidade fixa em e a outra livre em . As condições iniciais nos dizem que a corda começa sem velocidade e com uma forma inicial específica . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre a equação das ondas e métodos de resolução de equações diferenciais parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a movimentação da corda é descrita pela equação das ondas:
onde representa o deslocamento da corda no ponto e no tempo , e é a velocidade da onda na corda.
Passo 3
As condições de contorno são (extremidade fixa) e (extremidade livre). Essas condições nos ajudam a determinar as funções próprias da solução.
Passo 4
Usaremos o método da separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de uma função dependente de e outra dependente de :
Substituindo isso na equação das ondas e separando as variáveis, conseguimos duas equações diferenciais ordinárias.
Passo 5
Resolvendo a equação espacial, encontramos as funções próprias que satisfazem as condições de contorno. Para a nossa condição , as funções próprias são do tipo:
onde é um número inteiro.
Passo 6
A solução geral é uma soma infinita dessas funções próprias multiplicadas por funções temporais:
Os coeficientes são determinados pela condição inicial através da série de Fourier.
Passo 7
Para encontrar os coeficientes , projetamos nas funções próprias:
Calculando esses inteiros para a função dada, obtemos os valores de .
Passo 8
Com todos os determinados, podemos escrever a solução completa . Para construir uma animação, podemos usar software como Python com Matplotlib ou MATLAB para plotar para diferentes valores de , mostrando como a corda vibra ao longo do tempo.
Resposta
A solução da movimentação da corda é dada por
onde os coeficientes são calculados por
Com essa expressão, podemos construir uma animação que mostra a vibração da corda ao longo do tempo.