Problems 13 and 14 indicate the form of the general solution of the wave equation and the physical significance of the constant .
b. Show that can be written as
where and são funções arbitrárias.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a solução geral da equação da onda pode ser escrita como , onde e são funções arbitrárias. Estamos lidando com a Equação da Onda, que descreve como ondas se propagam no espaço e no tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como resolver equações diferenciais parciais e utilizar o método das soluções características.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Equação da Onda. Ela é dada por:
Aqui, representa a posição da onda no espaço e no tempo , e é uma constante que está relacionada à velocidade da onda.

Passo 3

A solução geral dessa equação pode ser encontrada assumindo que a onda se propaga sem mudar de forma. Ou seja, podemos pensar que a solução é a soma de duas funções: uma que se move para a direita e outra para a esquerda. Essas funções serão e , respectivamente.

Passo 4

Vamos verificar se essa forma satisfaz a equação da onda. Primeiro, calculamos as derivadas de em relação ao tempo :

Passo 5

Agora, calculamos as derivadas de em relação ao espaço :

Passo 6

Substituindo essas derivadas na equação da onda:
Vemos que ambos os lados são iguais, o que confirma que nossa forma de solução atende à equação da onda.

Passo 7

As funções e são arbitrárias porque podem ser quaisquer funções que descrevem a forma inicial da onda se movendo para a direita e para a esquerda, respectivamente. Isso significa que, dependendo das condições iniciais (como a forma e a velocidade da onda no tempo ), podemos escolher e de maneira adequada.

Resposta

Portanto, mostramos que a solução geral da equação da onda é:
onde e são funções arbitrárias que representam ondas se movendo para a direita e para a esquerda, respectivamente.

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Consider an elastic string of length . The end is held fixed, while the end is free; thus the boundary conditions are and . The string is set in motion with no initial velocity from the initial position , onde
d. Construct an animation of the solution in time for at least one period.
Explique o significado de cada uma das notações a seguir.
(a)
(b)
Classifique cada funçāo como uma função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmica.
  1. (a)
    (b)
    ©
    (e)
    (d)
    (f)
Classifique cada funçāo como uma função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmica.
2 (a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)