Problems 13 and 14 indicate the form of the general solution of the wave equation and the physical significance of the constant
.
b. Show that
can be written as
where
and
são funções arbitrárias.
b. Show that
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a solução geral da equação da onda pode ser escrita como
, onde
e
são funções arbitrárias. Estamos lidando com a Equação da Onda, que descreve como ondas se propagam no espaço e no tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como resolver equações diferenciais parciais e utilizar o método das soluções características.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Equação da Onda. Ela é dada por:
Aqui,
representa a posição da onda no espaço
e no tempo
, e
é uma constante que está relacionada à velocidade da onda.
Passo 3
A solução geral dessa equação pode ser encontrada assumindo que a onda se propaga sem mudar de forma. Ou seja, podemos pensar que a solução é a soma de duas funções: uma que se move para a direita e outra para a esquerda. Essas funções serão
e
, respectivamente.
Passo 4
Vamos verificar se essa forma satisfaz a equação da onda. Primeiro, calculamos as derivadas de
em relação ao tempo
:
Passo 5
Agora, calculamos as derivadas de
em relação ao espaço
:
Passo 6
Substituindo essas derivadas na equação da onda:
Vemos que ambos os lados são iguais, o que confirma que nossa forma de solução atende à equação da onda.
Passo 7
As funções
e
são arbitrárias porque podem ser quaisquer funções que descrevem a forma inicial da onda se movendo para a direita e para a esquerda, respectivamente. Isso significa que, dependendo das condições iniciais (como a forma e a velocidade da onda no tempo
), podemos escolher
e
de maneira adequada.
Resposta
Portanto, mostramos que a solução geral da equação da onda é:
onde
e
são funções arbitrárias que representam ondas se movendo para a direita e para a esquerda, respectivamente.