Problems 13 and 14 indicate the form of the general solution of the wave equation and the physical significance of the constant a.
b. Show that u(x, t) can be written as
u(x, t) = φ(x - a t) + ψ(x + a t)
where phi and psi são funções arbitrárias.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a solução geral da equação da onda pode ser escrita como , onde e são funções arbitrárias. Estamos lidando com a Equação da Onda, que descreve como ondas se propagam no espaço e no tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como resolver equações diferenciais parciais e utilizar o método das soluções características.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Equação da Onda. Ela é dada por:
Aqui, representa a posição da onda no espaço e no tempo , e é uma constante que está relacionada à velocidade da onda.

Passo 3

A solução geral dessa equação pode ser encontrada assumindo que a onda se propaga sem mudar de forma. Ou seja, podemos pensar que a solução é a soma de duas funções: uma que se move para a direita e outra para a esquerda. Essas funções serão e , respectivamente.

Passo 4

Vamos verificar se essa forma satisfaz a equação da onda. Primeiro, calculamos as derivadas de em relação ao tempo :

Passo 5

Agora, calculamos as derivadas de em relação ao espaço :

Passo 6

Substituindo essas derivadas na equação da onda:
Vemos que ambos os lados são iguais, o que confirma que nossa forma de solução atende à equação da onda.

Passo 7

As funções e são arbitrárias porque podem ser quaisquer funções que descrevem a forma inicial da onda se movendo para a direita e para a esquerda, respectivamente. Isso significa que, dependendo das condições iniciais (como a forma e a velocidade da onda no tempo ), podemos escolher e de maneira adequada.

Resposta

Portanto, mostramos que a solução geral da equação da onda é:
onde e são funções arbitrárias que representam ondas se movendo para a direita e para a esquerda, respectivamente.

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