Problems 13 and 14 indicate the form of the general solution of the wave equation and the physical significance of the constant .
b. Show that can be written as
where and são funções arbitrárias.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a solução geral da equação da onda pode ser escrita como , onde e são funções arbitrárias. Estamos lidando com a Equação da Onda, que descreve como ondas se propagam no espaço e no tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como resolver equações diferenciais parciais e utilizar o método das soluções características.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Equação da Onda. Ela é dada por:
Aqui, representa a posição da onda no espaço e no tempo , e é uma constante que está relacionada à velocidade da onda.
Passo 3
A solução geral dessa equação pode ser encontrada assumindo que a onda se propaga sem mudar de forma. Ou seja, podemos pensar que a solução é a soma de duas funções: uma que se move para a direita e outra para a esquerda. Essas funções serão e , respectivamente.
Passo 4
Vamos verificar se essa forma satisfaz a equação da onda. Primeiro, calculamos as derivadas de em relação ao tempo :
Passo 5
Agora, calculamos as derivadas de em relação ao espaço :
Passo 6
Substituindo essas derivadas na equação da onda:
Vemos que ambos os lados são iguais, o que confirma que nossa forma de solução atende à equação da onda.
Passo 7
As funções e são arbitrárias porque podem ser quaisquer funções que descrevem a forma inicial da onda se movendo para a direita e para a esquerda, respectivamente. Isso significa que, dependendo das condições iniciais (como a forma e a velocidade da onda no tempo ), podemos escolher e de maneira adequada.
Resposta
Portanto, mostramos que a solução geral da equação da onda é:
onde e são funções arbitrárias que representam ondas se movendo para a direita e para a esquerda, respectivamente.