Problems 13 and 14 indicate the form of the general solution of the wave equation and the physical significance of the constant
.
a. Show that the wave equation
can be reduced to the form
by the change of variables
.
a. Show that the wave equation
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação da onda, que é um tipo de equação diferencial parcial. A equação dada é:
Onde
é uma função que depende de
e
, e os subscritos indicam derivadas parciais. A ideia é mostrar que, fazendo uma mudança de variáveis para
e
, a equação fica mais simples, do jeito que a gente quer:
. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a mudança de variáveis. Estamos definindo novas variáveis
e
em termos de
e
:
Isso significa que agora nossa função
vai depender de
e
em vez de
e
. Ou seja, podemos reescrever
como
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
usando as novas variáveis
e
. Vamos usar a regra da cadeia para isso.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Calculando as derivadas parciais dos novos parâmetros:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia novamente:
Então:
Passo 5
Vamos agora calcular as derivadas em relação ao tempo
. Começando com a primeira derivada:
Calculando:
Então:
Passo 6
Agora, a segunda derivada em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia:
Então:
Como
:
Passo 7
Agora, vamos substituir
e
na equação original:
Substituindo:
Simplificando ambos os lados:
Subtraindo
e
de ambos os lados:
Somando
em ambos os lados:
Dividindo por
:
Resposta
Assim, ao mudar as variáveis para
e
, a equação da onda original se reduz à forma simplificada: