Problems 13 and 14 indicate the form of the general solution of the wave equation and the physical significance of the constant a.
a. Show that the wave equation
a^2 u_xx = u_tt
can be reduced to the form u_xi_eta = 0 by the change of variables xi = x - a t, eta = x + a t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação da onda, que é um tipo de equação diferencial parcial. A equação dada é:
Onde é uma função que depende de e , e os subscritos indicam derivadas parciais. A ideia é mostrar que, fazendo uma mudança de variáveis para e , a equação fica mais simples, do jeito que a gente quer: . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a mudança de variáveis. Estamos definindo novas variáveis e em termos de e :
Isso significa que agora nossa função vai depender de e em vez de e . Ou seja, podemos reescrever como .

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e usando as novas variáveis e . Vamos usar a regra da cadeia para isso.
Primeiro, a derivada de em relação a :
Calculando as derivadas parciais dos novos parâmetros:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada em relação a :
Aplicando a regra da cadeia novamente:
Então:

Passo 5

Vamos agora calcular as derivadas em relação ao tempo . Começando com a primeira derivada:
Calculando:
Então:

Passo 6

Agora, a segunda derivada em relação a :
Aplicando a regra da cadeia:
Então:
Como :

Passo 7

Agora, vamos substituir e na equação original:
Substituindo:
Simplificando ambos os lados:
Subtraindo e de ambos os lados:
Somando em ambos os lados:
Dividindo por :

Resposta

Assim, ao mudar as variáveis para e , a equação da onda original se reduz à forma simplificada:

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