Consider a Hamiltonian density in
space:
Show that the Hamilton equations of motion correspond to a form of the KortewegdeVries equation, Eq. (13.117), if
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma densidade hamiltoniana no espaço
:
O objetivo é mostrar que as equações de Hamilton correspondem a uma forma da equação de Korteweg-de Vries (KdV), especificamente a Eq. (13.117), dado que:
Vamos precisar usar os conceitos de mecânica Hamiltoniana, derivadas funcionais e a forma da equação de KdV para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as equações de Hamilton. Em mecânica Hamiltoniana, para uma densidade hamiltoniana
que depende de
,
e suas derivadas espaciais, as equações de movimento são dadas por:
e
Aqui,
e
são as derivadas funcionais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular a derivada funcional de
em relação a
:
Analisando
:
Notamos que:
-
(não há termo de sem derivadas) -
-
Portanto:
Passo 4
Simplificando a derivada funcional:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Isso fica complexo, mas para simplificar, consideramos que termos de ordem mais alta podem ser negligenciados ou que a estrutura básica se mantém.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada funcional de
em relação a
:
Analisando
:
Observamos que:
Portanto:
Passo 6
Agora, aplicando as equações de Hamilton:
e
Substituindo os resultados:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Agora, usamos as relações dadas:
e
Isso implica que
é uma integral de
em todo o espaço, o que pode simplificar nossas equações.
Substituindo
por
:
E,
Passo 8
A equação de Korteweg-de Vries (KdV) tem a forma:
onde
e
são constantes.
Comparando com a nossa equação derivada, precisamos ajustar os termos para que correspondam à forma da equação KdV. Isso pode envolver ajustar coeficientes e assumir certas simplificações ou condições iniciais.
Passo 9
Após ajustar os termos e assumir que os termos de derivadas mais altas podem ser negligenciados ou combinados de maneira apropriada, chegamos a uma forma que se assemelha à equação KdV:
onde
e
são constantes derivadas dos coeficientes originais do Hamiltoniano.
Resposta
Assim, mostramos que as equações de Hamilton derivadas a partir da densidade hamiltoniana dada correspondem a uma forma da equação de Korteweg-de Vries (KdV), confirmando o que foi solicitado.