Consider a rigid body rotating with a constant angular velocity omega radians per second about a fixed axis through O as in Figure 1.14. Let r be the distance vector from O to P, the position of a particle in the body. The velocity u of the body at P is |u| = d omega = |r| * sen(θ) * ωi or u = omega x r. If the rigid body is rotating with 3 radians per second about an axis parallel to a_x - 2 a_y + 2 a_z and passing through point (2, -3, 1), determine the velocity of the body at 1, 3, 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um corpo rígido que está girando com uma velocidade angular constante de 3 radianos por segundo. Esse giro acontece em torno de um eixo que é paralelo ao vetor e passa pelo ponto . Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade do corpo no ponto .
Conteúdo da matéria: Vamos usar conceitos de cinemática de corpos rígidos, especificamente a relação entre velocidade angular e velocidade de um ponto no corpo usando o produto vetorial.
O que precisamos: Saber como calcular o produto vetorial entre o vetor velocidade angular e o vetor posição.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a direção do eixo de rotação. O vetor que representa a direção do eixo é . Vamos transformar esse vetor em um vetor unitário para facilitar nossos cálculos.
O módulo de é:
Então, o vetor unitário é:

Passo 3

Agora, multiplicamos o vetor unitário pela velocidade angular para obter o vetor velocidade angular :
Então, rad/s.

Passo 4

Identificamos o ponto pelo qual passa o eixo de rotação: , e o ponto onde queremos encontrar a velocidade: .
Calculamos o vetor posição de em relação a :

Passo 5

Para encontrar a velocidade no ponto , usamos a relação:
Isso significa que precisamos calcular o produto vetorial entre e .

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então,

Resposta

A velocidade do corpo no ponto é unidades de velocidade por segundo.

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