Find the triple scalar product of P, Q, and R given that
& P=2 ax-ay+az & Q=ax+ay+az
and
R=2 ax+3 az

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos três vetores P, Q e R definidos pelas seguintes componentes:
& P=2 ax-ay+az & Q=ax+ay+az & R=2 ax+3 az
O exercício solicita que encontremos o produto escalar triplo desses vetores, ou seja, P cdot (Q times R). Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas do produto vetorial e do produto escalar, além de saber calcular determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes dos vetores P, Q e R. Podemos escrever cada vetor na forma de coordenadas:
P = 2 -1 1 , Q = 1 1 1 , R = 2 0 3

Passo 3

O próximo passo é calcular o produto vetorial Q times R. O produto vetorial de dois vetores A = Ax Ay Az e B = Bx By Bz é dado por:
A times B = Ay Bz - Az By Az Bx - Ax Bz Ax By - Ay Bx
Aplicando isso aos vetores Q e R:
Q times R = 1 cdot 3 - 1 cdot 0 1 cdot 2 - 1 cdot 3 1 cdot 0 - 1 cdot 2 = 3 -1 -2

Passo 4

Agora, precisamos calcular o produto escalar entre o vetor P e o resultado do produto vetorial Q times R. O produto escalar de dois vetores A = Ax Ay Az e B = Bx By Bz é dado por:
A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
Aplicando isso aos vetores P e Q times R:
P cdot (Q times R) = 2 cdot 3 + (-1) cdot (-1) + 1 cdot (-2) = 6 + 1 - 2 = 5

Resposta

O produto escalar triplo de P, Q e R é igual a 5.

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