The vertices of a triangle are located at (4, 1, -3), (-2, 5, 4), and (0, 1, 6). Find the three angles of the triangle.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente tem um triângulo com vértices nas coordenadas , e (0, 1, 6). Nosso objetivo é encontrar os três ângulos desse triângulo. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da distância no espaço 3D para encontrar os comprimentos dos lados e, depois, aplicar a Lei dos Cossenos para determinar os ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o comprimento de cada lado do triângulo. Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos no espaço 3D:

Passo 3

Vamos calcular o comprimento do lado entre os pontos e :

Passo 4

Agora, vamos encontrar o comprimento do lado entre os pontos e :

Passo 5

Em seguida, calculamos o comprimento do lado entre os pontos e :

Passo 6

Agora que temos os comprimentos dos lados ( , , ), vamos usar a Lei dos Cossenos para encontrar os ângulos do triângulo. A Lei dos Cossenos é dada por:
onde theta é o ângulo oposto ao lado a.

Passo 7

Vamos começar encontrando o ângulo em A. Usando a Lei dos Cossenos:
Calculando os valores:
Então,

Passo 8

Agora, vamos encontrar o ângulo em B:
Calculando os valores:
Então,

Passo 9

Por fim, vamos calcular o ângulo em C. Sabemos que a soma dos ângulos de um triângulo é , então:

Resposta

Os ângulos do triângulo são aproximadamente , e .

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