The vertices of a triangle are located at
, and
. Find the three angles of the triangle.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente tem um triângulo com vértices nas coordenadas
,
e
. Nosso objetivo é encontrar os três ângulos desse triângulo. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da distância no espaço 3D para encontrar os comprimentos dos lados e, depois, aplicar a Lei dos Cossenos para determinar os ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o comprimento de cada lado do triângulo. Para isso, usamos a fórmula da distância entre dois pontos no espaço 3D:
Passo 3
Vamos calcular o comprimento do lado entre os pontos
e
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o comprimento do lado entre os pontos
e
:
Passo 5
Em seguida, calculamos o comprimento do lado entre os pontos
e
:
Passo 6
Agora que temos os comprimentos dos lados (
,
,
), vamos usar a Lei dos Cossenos para encontrar os ângulos do triângulo. A Lei dos Cossenos é dada por:
onde
é o ângulo oposto ao lado
.
Passo 7
Vamos começar encontrando o ângulo em
. Usando a Lei dos Cossenos:
Calculando os valores:
Então,
Passo 8
Agora, vamos encontrar o ângulo em
:
Calculando os valores:
Então,
Passo 9
Por fim, vamos calcular o ângulo em
. Sabemos que a soma dos ângulos de um triângulo é
, então:
Resposta
Os ângulos do triângulo são aproximadamente
,
e
.