Points P1(1,2,3), P2(-5,2,0), and P3(2, 7, -3) form a triangle in space. Calculate the area of the triangle.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de geometria no espaço! A gente tem três pontos no espaço 3D que formam um triângulo, e queremos descobrir qual é a área desse triângulo. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial que nos ajudam a calcular áreas de formas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos: , e . A ideia é formar dois vetores que representem os lados do triângulo e depois usar o produto vetorial para encontrar a área.

Passo 3

Vamos formar o primeiro vetor ligando a :

Passo 4

Agora, formamos o segundo vetor ligando a :

Passo 5

Para encontrar a área do triângulo, usamos o produto vetorial dos vetores e . O produto vetorial resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores, e o módulo desse vetor é igual à área do paralelogramo formado por e . Como a área do triângulo é a metade dessa área, a fórmula fica:
Á

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial :
Isso resulta em:
Simplificando:

Passo 7

Agora, calculamos o módulo desse vetor:

Passo 8

Finalmente, a área do triângulo é metade desse valor:
Á

Resposta

A área do triângulo formado pelos pontos , e é aproximadamente 25,71 unidades quadradas.

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