Show that the dot and cross in the triple scalar product may be interchanged, i.e., A.B x C = (A x B).C.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que podemos trocar a ordem do produto escalar (dot) e do produto vetorial (cross) no produto misto de três vetores. Em termos matemáticos, isso significa provar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender as definições e propriedades dos produtos escalar e vetorial, além de como eles interagem entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são esses produtos:
  • Produto Vetorial ( x vezes y): Dado dois vetores, B e C, o produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos B e C. O módulo desse vetor é igual à área do paralelogramo formado por B e C.
  • Produto Escalar ( \cdot): Dado dois vetores, A e D, o produto escalar resulta em um número (escalar) que é igual ao produto dos módulos dos dois vetores pelo cosseno do ângulo entre eles.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é o produto misto. O produto misto de três vetores A, B e C é dado por:
Esse valor representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores e também é igual ao determinante da matriz formada pelos componentes desses vetores:

Passo 4

Vamos calcular o lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
Como discutido, isso é igual ao determinante da matriz formada por A, B e C.

Passo 5

Agora, vamos calcular o lado direito da igualdade:
Primeiro, calculamos o produto vetorial , que resulta em um vetor perpendicular a A e B. Em seguida, fazemos o produto escalar desse vetor resultante com C, que novamente nos dá o determinante da mesma matriz:

Passo 6

Observando ambos os lados, vemos que:
Isso mostra que os dois lados da igualdade são iguais, já que ambos resultam no mesmo determinante.

Resposta

Portanto, demonstramos que:

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