Show that the dot and cross in the triple scalar product may be interchanged, i.e., .
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que podemos trocar a ordem do produto escalar (dot) e do produto vetorial (cross) no produto misto de três vetores. Em termos matemáticos, isso significa provar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender as definições e propriedades dos produtos escalar e vetorial, além de como eles interagem entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são esses produtos:
Produto Vetorial (): Dado dois vetores, e , o produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos e . O módulo desse vetor é igual à área do paralelogramo formado por e .
Produto Escalar (): Dado dois vetores, e , o produto escalar resulta em um número (escalar) que é igual ao produto dos módulos dos dois vetores pelo cosseno do ângulo entre eles.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é o produto misto. O produto misto de três vetores , e é dado por:
Esse valor representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores e também é igual ao determinante da matriz formada pelos componentes desses vetores:
Passo 4
Vamos calcular o lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
Como discutido, isso é igual ao determinante da matriz formada por , e .
Passo 5
Agora, vamos calcular o lado direito da igualdade:
Primeiro, calculamos o produto vetorial , que resulta em um vetor perpendicular a e . Em seguida, fazemos o produto escalar desse vetor resultante com , que novamente nos dá o determinante da mesma matriz:
Passo 6
Observando ambos os lados, vemos que:
Isso mostra que os dois lados da igualdade são iguais, já que ambos resultam no mesmo determinante.