Show that the dot and cross in the triple scalar product may be interchanged, i.e., .

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que podemos trocar a ordem do produto escalar (dot) e do produto vetorial (cross) no produto misto de três vetores. Em termos matemáticos, isso significa provar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender as definições e propriedades dos produtos escalar e vetorial, além de como eles interagem entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são esses produtos:
  • Produto Vetorial ( ): Dado dois vetores, e , o produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos e . O módulo desse vetor é igual à área do paralelogramo formado por e .
  • Produto Escalar ( ): Dado dois vetores, e , o produto escalar resulta em um número (escalar) que é igual ao produto dos módulos dos dois vetores pelo cosseno do ângulo entre eles.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é o produto misto. O produto misto de três vetores , e é dado por:
Esse valor representa o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores e também é igual ao determinante da matriz formada pelos componentes desses vetores:

Passo 4

Vamos calcular o lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
Como discutido, isso é igual ao determinante da matriz formada por , e .

Passo 5

Agora, vamos calcular o lado direito da igualdade:
Primeiro, calculamos o produto vetorial , que resulta em um vetor perpendicular a e . Em seguida, fazemos o produto escalar desse vetor resultante com , que novamente nos dá o determinante da mesma matriz:

Passo 6

Observando ambos os lados, vemos que:
Isso mostra que os dois lados da igualdade são iguais, já que ambos resultam no mesmo determinante.

Resposta

Portanto, demonstramos que:

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Points , and form a triangle in space. Calculate the area of the triangle.
Consider a rigid body rotating with a constant angular velocity radians per second about a fixed axis through as in Figure 1.14. Let be the distance vector from to , the position of a particle in the body. The velocity of the body at is or . If the rigid body is rotating with 3 radians per second about an axis parallel to and passing through point , determine the velocity of the body at .
If is the position vector of the point and is a constant vector, show that:
(a) is the equation of a constant plane
(b) is the equation of a sphere
(a) Prove that and are unit vectors in the -plane respectively making angles and with the -axis.
(b) By means of dot product, obtain the formula for . By similarly formulating and , obtain the formula for .
© If is the angle between and , find in terms of .