Sejam U e W os seguintes subespaços vetoriais de R^4
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Sejam U e W os seguintes subespaços vetoriais de R^4 U=(a, b, c, d) / b-2 c+d=0 e W=(a, b, c, d) / a=d, b=2 c

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são dois subespaços vetoriais, e , no espaço . A gente precisa entender como esses subespaços se relacionam. Para isso, vamos precisar entender as condições que definem cada um deles e, provavelmente, descobrir a interseção entre e . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares e subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o subespaço b - 2c + d = 0 . Ele é definido por todas as tuplas que satisfazem a equação:
Isso significa que, para estar em , essa combinação específica dos componentes de um vetor precisa ser igual a zero.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o subespaço a = d e b = 2c . Ele é definido pelas tuplas que satisfazem duas condições:
Então, para um vetor estar em , seu primeiro componente deve ser igual ao quarto, e o segundo componente deve ser o dobro do terceiro.

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar a interseção , ou seja, os vetores que estão simultaneamente em e em . Para isso, vamos combinar as condições de ambos os subespaços.

Passo 5

Primeiro, vamos aplicar as condições de a = d e b = 2c nas equações de b - 2c + d = 0 (2c) - 2c + a = 0 (já que d = a) 2c - 2c + a = 0 0 + a = 0 a = 0 . Sabemos que em :
Substituindo essas igualdades na equação de :
á

Passo 6

Agora que sabemos que d = 0 , e também que , então:
E lembrando que , essas são as condições que nossos vetores na interseção devem satisfazer.

Passo 7

Portanto, qualquer vetor na interseção (0, 2c, c, 0) tem a forma:
(0, 2c, c, 0) = c cdot (0, 2, 1, 0)
Onde pode ser qualquer número real. Podemos expressar isso como:

Passo 8

Isso significa que a interseção é o conjunto de todos os vetores que são múltiplos escalares do vetor . Em termos de subespaço vetorial, isso é uma linha que passa pela origem na direção de .

Resposta

A interseção U cap W = , (0, 2c, c, 0) mid c in R , é o conjunto de todos os vetores da forma , onde é um número real. Em outras palavras,

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