Sejam
e
os seguintes subespaços vetoriais de
8a
Sejam
e
os seguintes subespaços vetoriais de
8a
Sejam
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são dois subespaços vetoriais,
e
, no espaço
. A gente precisa entender como esses subespaços se relacionam. Para isso, vamos precisar entender as condições que definem cada um deles e, provavelmente, descobrir a interseção entre
e
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares e subespaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o subespaço
. Ele é definido por todas as tuplas
que satisfazem a equação:
Isso significa que, para estar em
, essa combinação específica dos componentes de um vetor precisa ser igual a zero.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o subespaço
. Ele é definido pelas tuplas
que satisfazem duas condições:
Então, para um vetor estar em
, seu primeiro componente deve ser igual ao quarto, e o segundo componente deve ser o dobro do terceiro.
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar a interseção
, ou seja, os vetores que estão simultaneamente em
e em
. Para isso, vamos combinar as condições de ambos os subespaços.
Passo 5
Primeiro, vamos aplicar as condições de
nas equações de
. Sabemos que em
:
Substituindo essas igualdades na equação de
:
Passo 6
Agora que sabemos que
, e também que
, então:
E lembrando que
, essas são as condições que nossos vetores na interseção
devem satisfazer.
Passo 7
Portanto, qualquer vetor na interseção
tem a forma:
Onde
pode ser qualquer número real. Podemos expressar isso como:
Passo 8
Isso significa que a interseção
é o conjunto de todos os vetores que são múltiplos escalares do vetor
. Em termos de subespaço vetorial, isso é uma linha que passa pela origem na direção de
.
Resposta
A interseção
é o conjunto de todos os vetores da forma
, onde
é um número real. Em outras palavras,
Exercícios relacionados
Consider o subespaço das matrizes simétricas
Encontre uma base de
.
Sejam
números reais quaisquer. Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz em
, mostre que
Consider os s requinte subespaço das matrizes
.
Calcule:
e
Determine as coordenadas do vetor
em relação à base
9
Determine as coordenadas do vetor em relação à base
9
Determine as coordenadas do vetor