Sejam e os seguintes subespaços vetoriais de
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Sejam e os seguintes subespaços vetoriais de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são dois subespaços vetoriais, e , no espaço . A gente precisa entender como esses subespaços se relacionam. Para isso, vamos precisar entender as condições que definem cada um deles e, provavelmente, descobrir a interseção entre e . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares e subespaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o subespaço . Ele é definido por todas as tuplas que satisfazem a equação:
Isso significa que, para estar em , essa combinação específica dos componentes de um vetor precisa ser igual a zero.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o subespaço . Ele é definido pelas tuplas que satisfazem duas condições:
Então, para um vetor estar em , seu primeiro componente deve ser igual ao quarto, e o segundo componente deve ser o dobro do terceiro.

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar a interseção , ou seja, os vetores que estão simultaneamente em e em . Para isso, vamos combinar as condições de ambos os subespaços.

Passo 5

Primeiro, vamos aplicar as condições de nas equações de . Sabemos que em :
Substituindo essas igualdades na equação de :
á

Passo 6

Agora que sabemos que , e também que , então:
E lembrando que , essas são as condições que nossos vetores na interseção devem satisfazer.

Passo 7

Portanto, qualquer vetor na interseção tem a forma:
Onde pode ser qualquer número real. Podemos expressar isso como:

Passo 8

Isso significa que a interseção é o conjunto de todos os vetores que são múltiplos escalares do vetor . Em termos de subespaço vetorial, isso é uma linha que passa pela origem na direção de .

Resposta

A interseção é o conjunto de todos os vetores da forma , onde é um número real. Em outras palavras,

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Encontre uma base de .
Sejam números reais quaisquer. Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz em , mostre que
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Calcule: e
Determine as coordenadas do vetor em relação à base
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Determine as coordenadas do vetor em relação à base