Consider the conduction of heat in a rod 40 cm in length whose ends are maintained at 0 graus C for all t > 0. In each of Problems 9 through 12, find an expression for the temperature u(x, t) if the initial temperature distribution in the rod is the given function. Suppose that alpha^2 = 1.
u(x, 0) = x, 0 <= x < 40

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma barra de metal com 40 cm de comprimento, e as extremidades dela estão sempre mantidas a 0°C para qualquer tempo . A temperatura inicial ao longo da barra é dada por , onde varia de 0 a 40 cm. Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão para a temperatura em qualquer ponto da barra e em qualquer tempo . Para resolver isso, vamos precisar usar a Equação do Calor e técnicas de Séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Equação do Calor, que descreve como a temperatura se difunde ao longo do tempo em um meio. A equação é dada por:
No nosso caso, foi dado que , então simplifica para:

Passo 3

As condições de contorno são que as temperaturas nas extremidades da barra são sempre 0°C:
Além disso, a condição inicial é:

Passo 4

Para resolver essa equação com essas condições, vamos usar o método de separação de variáveis. Isso envolve assumir que a solução pode ser escrita como um produto de duas funções, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de :

Passo 5

Substituindo na equação do calor, temos:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 6

Assim, obtemos duas equações ordinárias:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 7

Resolvendo a equação de com as condições de contorno e , encontramos que os valores permitidos de são:
E as soluções correspondentes são:

Passo 8

Agora, resolvemos a equação para usando cada :

Passo 9

A solução geral da equação do calor é uma soma de todas as soluções individuais:
Onde são os coeficientes a serem determinados pela condição inicial.

Passo 10

Para encontrar os coeficientes , usamos a condição inicial :
Isso requer projetar a função em uma série de Fourier senoidal sobre o intervalo .

Passo 11

Os coeficientes são dados por:
Simplificando:

Passo 12

Resolvendo a integral, encontramos:

Resposta

Portanto, a expressão para a temperatura na barra é:

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