Consider the conduction of heat in a rod 40 cm in length whose ends are maintained at
for all
. In each of Problems 9 through 12, find an expression for the temperature
if the initial temperature distribution in the rod is the given function. Suppose that
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma barra de metal com 40 cm de comprimento, e as extremidades dela estão sempre mantidas a 0°C para qualquer tempo
. A temperatura inicial ao longo da barra é dada por
, onde
varia de 0 a 40 cm. Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão para a temperatura
em qualquer ponto da barra e em qualquer tempo
. Para resolver isso, vamos precisar usar a Equação do Calor e técnicas de Séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Equação do Calor, que descreve como a temperatura se difunde ao longo do tempo em um meio. A equação é dada por:
No nosso caso, foi dado que
, então simplifica para:
Passo 3
As condições de contorno são que as temperaturas nas extremidades da barra são sempre 0°C:
Além disso, a condição inicial é:
Passo 4
Para resolver essa equação com essas condições, vamos usar o método de separação de variáveis. Isso envolve assumir que a solução pode ser escrita como um produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
:
Passo 5
Substituindo
na equação do calor, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é uma constante de separação.
Passo 6
Assim, obtemos duas equações ordinárias:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Resolvendo a equação de
com as condições de contorno
e
, encontramos que os valores permitidos de
são:
E as soluções correspondentes são:
Passo 8
Agora, resolvemos a equação para
usando cada
:
Passo 9
A solução geral da equação do calor é uma soma de todas as soluções individuais:
Onde
são os coeficientes a serem determinados pela condição inicial.
Passo 10
Para encontrar os coeficientes
, usamos a condição inicial
:
Isso requer projetar a função
em uma série de Fourier senoidal sobre o intervalo
.
Passo 11
Os coeficientes
são dados por:
Simplificando:
Passo 12
Resolvendo a integral, encontramos:
Resposta
Portanto, a expressão para a temperatura
na barra é:
Exercícios relacionados
In solving differential equations, the computations can almost always be simplified by the use of dimensionless variables. Show that if the dimensionless variable
is introduced, the heat conduction equation becomes
Encontre o limite ou demonstre que não existe
Consider the equation
where
, and
are constants. Let
, where
is constant, and find the corresponding partial differential equation for
.
Determine os limites, caso exista