Consider the conduction of heat in a rod 40 cm in length whose ends are maintained at
for all
. In each of Problems 9 through 12, find an expression for the temperature
if the initial temperature distribution in the rod is the given function. Suppose that
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma barra de metal com 40 cm de comprimento, e as extremidades dela estão sempre mantidas a 0°C para qualquer tempo
. A temperatura inicial ao longo da barra é dada por
, onde
varia de 0 a 40 cm. Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão para a temperatura
em qualquer ponto da barra e em qualquer tempo
. Para resolver isso, vamos precisar usar a Equação do Calor e técnicas de Séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Equação do Calor, que descreve como a temperatura se difunde ao longo do tempo em um meio. A equação é dada por:
No nosso caso, foi dado que
, então simplifica para:
Passo 3
As condições de contorno são que as temperaturas nas extremidades da barra são sempre 0°C:
Além disso, a condição inicial é:
Passo 4
Para resolver essa equação com essas condições, vamos usar o método de separação de variáveis. Isso envolve assumir que a solução pode ser escrita como um produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
:
Passo 5
Substituindo
na equação do calor, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é uma constante de separação.
Passo 6
Assim, obtemos duas equações ordinárias:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Resolvendo a equação de
com as condições de contorno
e
, encontramos que os valores permitidos de
são:
E as soluções correspondentes são:
Passo 8
Agora, resolvemos a equação para
usando cada
:
Passo 9
A solução geral da equação do calor é uma soma de todas as soluções individuais:
Onde
são os coeficientes a serem determinados pela condição inicial.
Passo 10
Para encontrar os coeficientes
, usamos a condição inicial
:
Isso requer projetar a função
em uma série de Fourier senoidal sobre o intervalo
.
Passo 11
Os coeficientes
são dados por:
Simplificando:
Passo 12
Resolvendo a integral, encontramos:
Resposta
Portanto, a expressão para a temperatura
na barra é: