Consider the equation
where
, and
are constants. Let
, where
is constant, and find the corresponding partial differential equation for
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial parcial (EDP) que é:
onde
,
e
são constantes. O problema pede para a gente usar a substituição
, com
sendo uma constante, e descobrir como fica a EDP para
. Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas e substituir na equação original.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a substituição
faz. Basicamente, estamos “fatorando” um exponencial que depende do tempo
, e isso vai alterar como
varia com
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
em relação a
e
usando a substituição. Começando com a derivada temporal
:
Aqui usamos a regra do produto para derivadas.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada espacial
:
Porque
não depende de
, sua derivada em relação a
é zero.
Passo 5
Substituímos
e
na equação original:
Passo 6
Podemos fatorar
da equação, já que ele nunca é zero:
Como
, podemos dividir ambos os lados por ele:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Resposta
A equação diferencial parcial correspondente para
é:
Exercícios relacionados
Consider the conduction of heat in a rod 40 cm in length whose ends are maintained at
for all
. In each of Problems 9 through 12, find an expression for the temperature
if the initial temperature distribution in the rod is the given function. Suppose that
.
In solving differential equations, the computations can almost always be simplified by the use of dimensionless variables. Show that if the dimensionless variable
is introduced, the heat conduction equation becomes
Determine os limites, caso exista
Consider the problem
If
, let
with
. Show that problem (48) has nontrivial solutions only if
is a solution of the equation