Consider the equation
where , and are constants. Let , where is constant, and find the corresponding partial differential equation for .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial parcial (EDP) que é:
onde , e são constantes. O problema pede para a gente usar a substituição , com sendo uma constante, e descobrir como fica a EDP para . Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas e substituir na equação original.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a substituição faz. Basicamente, estamos “fatorando” um exponencial que depende do tempo , e isso vai alterar como varia com e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de em relação a e usando a substituição. Começando com a derivada temporal :
Aqui usamos a regra do produto para derivadas.

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada espacial :
Porque não depende de , sua derivada em relação a é zero.

Passo 5

Substituímos e na equação original:

Passo 6

Podemos fatorar da equação, já que ele nunca é zero:
Como , podemos dividir ambos os lados por ele:

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos semelhantes:

Resposta

A equação diferencial parcial correspondente para é:

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Determine os limites, caso exista
Consider the problem
If , let with . Show that problem (48) has nontrivial solutions only if is a solution of the equation