Consider the equation
where
, and
are constants. Let
, where
is constant, and find the corresponding partial differential equation for
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial parcial (EDP) que é:
onde
,
e
são constantes. O problema pede para a gente usar a substituição
, com
sendo uma constante, e descobrir como fica a EDP para
. Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas e substituir na equação original.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a substituição
faz. Basicamente, estamos “fatorando” um exponencial que depende do tempo
, e isso vai alterar como
varia com
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
em relação a
e
usando a substituição. Começando com a derivada temporal
:
Aqui usamos a regra do produto para derivadas.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada espacial
:
Porque
não depende de
, sua derivada em relação a
é zero.
Passo 5
Substituímos
e
na equação original:
Passo 6
Podemos fatorar
da equação, já que ele nunca é zero:
Como
, podemos dividir ambos os lados por ele:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão:
Agrupando os termos semelhantes:
Resposta
A equação diferencial parcial correspondente para
é: