In solving differential equations, the computations can almost always be simplified by the use of dimensionless variables. Show that if the dimensionless variable is introduced, the heat conduction equation becomes

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de condução de calor e queremos simplificar usando uma variável sem dimensão. O enunciado sugere usar , onde é uma escala característica de comprimento. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a equação original de condução de calor e como mudar de variável usando regras de derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de condução de calor na forma padrão:
Aqui, é a temperatura, é o tempo, é a posição, e é a difusividade térmica.

Passo 3

Agora, vamos introduzir a variável sem dimensão:
Queremos reescrever a equação em termos de ao invés de . Para isso, precisamos expressar as derivadas em relação a em termos de .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas usando a regra da cadeia. Primeiro, a primeira derivada de em relação a :
Agora, a segunda derivada:

Passo 5

Substituindo essas derivadas de volta na equação de condução de calor:
Vamos reorganizar para isolar os termos:

Resposta

Então, ao introduzir a variável sem dimensão , a equação de condução de calor fica:

Exercícios relacionados

Encontre o limite ou demonstre que não existe
Use a Regra da Cadeia para achar as derivadas parciais em cada item abaixo.
(b) .
Consider the conduction of heat in a rod 40 cm in length whose ends are maintained at for all . In each of Problems 9 through 12, find an expression for the temperature if the initial temperature distribution in the rod is the given function. Suppose that .
Consider the equation
where , and are constants. Let , where is constant, and find the corresponding partial differential equation for .