In solving differential equations, the computations can almost always be simplified by the use of dimensionless variables. Show that if the dimensionless variable xi=x / L is introduced, the heat conduction equation becomes
partial^2 upartial xi^2=L^2alpha^2 partial upartial t, 00

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de condução de calor e queremos simplificar usando uma variável sem dimensão. O enunciado sugere usar xi = xL, onde L é uma escala característica de comprimento. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a equação original de condução de calor e como mudar de variável usando regras de derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de condução de calor na forma padrão:
partial upartial t = alpha partial^2 upartial x^2
Aqui, u é a temperatura, t é o tempo, x é a posição, e alpha é a difusividade térmica.

Passo 3

Agora, vamos introduzir a variável sem dimensão:
xi = xL
Queremos reescrever a equação em termos de xi ao invés de x. Para isso, precisamos expressar as derivadas em relação a x em termos de xi.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas usando a regra da cadeia. Primeiro, a primeira derivada de u em relação a x:
partial upartial x = partial upartial xi cdot partial xipartial x = 1L partial upartial xi
Agora, a segunda derivada:
partial^2 upartial x^2 = partialpartial x ( 1L partial upartial xi ) = 1L partialpartial x ( partial upartial xi ) = 1L cdot 1L partial^2 upartial xi^2 = 1L^2 partial^2 upartial xi^2

Passo 5

Substituindo essas derivadas de volta na equação de condução de calor:
partial upartial t = alpha ( 1L^2 partial^2 upartial xi^2 )
Vamos reorganizar para isolar os termos:
partial^2 upartial xi^2 = L^2alpha partial upartial t

Resposta

Então, ao introduzir a variável sem dimensão xi = xL, a equação de condução de calor fica:
partial^2 upartial xi^2 = L^2alpha partial upartial t, 00

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