In solving differential equations, the computations can almost always be simplified by the use of dimensionless variables. Show that if the dimensionless variable
is introduced, the heat conduction equation becomes
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de condução de calor e queremos simplificar usando uma variável sem dimensão. O enunciado sugere usar
, onde
é uma escala característica de comprimento. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a equação original de condução de calor e como mudar de variável usando regras de derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de condução de calor na forma padrão:
Aqui,
é a temperatura,
é o tempo,
é a posição, e
é a difusividade térmica.
Passo 3
Agora, vamos introduzir a variável sem dimensão:
Queremos reescrever a equação em termos de
ao invés de
. Para isso, precisamos expressar as derivadas em relação a
em termos de
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas usando a regra da cadeia. Primeiro, a primeira derivada de
em relação a
:
Agora, a segunda derivada:
Passo 5
Substituindo essas derivadas de volta na equação de condução de calor:
Vamos reorganizar para isolar os termos:
Resposta
Então, ao introduzir a variável sem dimensão
, a equação de condução de calor fica:
Exercícios relacionados
Encontre o limite ou demonstre que não existe
Use a Regra da Cadeia para achar as derivadas parciais
em cada item abaixo.
(b) .
(b)
Consider the conduction of heat in a rod 40 cm in length whose ends are maintained at
for all
. In each of Problems 9 through 12, find an expression for the temperature
if the initial temperature distribution in the rod is the given function. Suppose that
.
Consider the equation
where
, and
are constants. Let
, where
is constant, and find the corresponding partial differential equation for
.