Consider the differential equation
, where
, and
are constants. The auxiliary equation of the associated homogeneous equation is
.
(a) If
is not a root of the auxiliary equation, show that we can find a particular solution of the form
, where
.
(b) If
is a root of the auxiliary equation of multiplicity one, show that we can find a particular solution of the form
, where
. Explain how we know that
.
© If
is a root of the auxiliary equation of multiplicity two, show that we can find a particular solution of the form
, where
.
(a) If
(b) If
© If
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo
, onde
,
,
e
são constantes. A equação auxiliar associada à equação homogênea é
.
Matéria envolvida: Equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e métodos para encontrar soluções particulares usando a forma da solução baseada nas raízes da equação auxiliar.
O que precisamos para resolver:
- Entender como encontrar soluções particulares quando o termo do lado direito é uma função exponencial.
- Saber como as raízes da equação auxiliar influenciam a forma da solução particular.
Vamos resolver cada parte passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Se
não é uma raiz da equação auxiliar, mostrar que podemos encontrar uma solução particular da forma
, onde
.
Como resolver:
-
Escolha da forma da solução particular: Como o lado direito da equação é
e não é raiz da equação auxiliar, assumimos que a solução particular tem a mesma forma, ou seja, . -
Derivando a solução particular:
-
-
Substituindo na equação diferencial:Fatorando
: -
Resolvendo para
:
Passo 3
Parte (b): Se
é uma raiz da equação auxiliar de multiplicidade um, mostrar que podemos encontrar uma solução particular da forma
, onde
. Também explicar por que sabemos que
.
Como resolver:
-
Quando
é uma raiz simples: Se é uma raiz da equação auxiliar, a forma escolhida para a solução particular precisa ser modificada para evitar a duplicação com a solução homogênea. Por isso, multiplicamos por , ficando . -
Derivando a nova solução particular:
-
-
Substituindo na equação diferencial:Fatorando
: Agrupando os termos com: -
Como
é uma raiz da equação auxiliar: Sabemos que , então o termo com desaparece, restando: -
Por que
: Se fosse verdade que , então , o que tornaria indefinido (divisão por zero). Porém, isso não é possível porque é uma raiz da equação auxiliar e estamos assumindo que ela tem multiplicidade um, garantindo que .
Passo 4
Parte ©: Se
é uma raiz da equação auxiliar de multiplicidade dois, mostrar que podemos encontrar uma solução particular da forma
, onde
.
Como resolver:
-
Quando
é uma raiz dupla: Se é uma raiz com multiplicidade dois, precisamos multiplicar por para evitar qualquer sobreposição com as soluções homogêneas. Assim, assumimos . -
Derivando a solução particular:
-
-
Substituindo na equação diferencial:Fatorando
: Agrupando os termos: -
Como
é uma raiz dupla da equação auxiliar: Sabemos que , então o termo com some, restando:
Resposta
(a) A solução particular é
.
(b) A solução particular é
e sabemos que
.
© A solução particular é
.
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