Consider the differential equation , where , and are constants. The auxiliary equation of the associated homogeneous equation is .
(a) If is not a root of the auxiliary equation, show that we can find a particular solution of the form , where .
(b) If is a root of the auxiliary equation of multiplicity one, show that we can find a particular solution of the form , where . Explain how we know that .
© If is a root of the auxiliary equation of multiplicity two, show that we can find a particular solution of the form , where .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo , onde , , e são constantes. A equação auxiliar associada à equação homogênea é .
Matéria envolvida: Equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e métodos para encontrar soluções particulares usando a forma da solução baseada nas raízes da equação auxiliar.
O que precisamos para resolver:
  1. Entender como encontrar soluções particulares quando o termo do lado direito é uma função exponencial.
  2. Saber como as raízes da equação auxiliar influenciam a forma da solução particular.
Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Se não é uma raiz da equação auxiliar, mostrar que podemos encontrar uma solução particular da forma , onde .
Como resolver:
  1. Escolha da forma da solução particular: Como o lado direito da equação é e não é raiz da equação auxiliar, assumimos que a solução particular tem a mesma forma, ou seja, .
  2. Derivando a solução particular:
  3. Substituindo na equação diferencial:
    Fatorando :
  4. Resolvendo para :

Passo 3

Parte (b): Se é uma raiz da equação auxiliar de multiplicidade um, mostrar que podemos encontrar uma solução particular da forma , onde . Também explicar por que sabemos que .
Como resolver:
  1. Quando é uma raiz simples: Se é uma raiz da equação auxiliar, a forma escolhida para a solução particular precisa ser modificada para evitar a duplicação com a solução homogênea. Por isso, multiplicamos por , ficando .
  2. Derivando a nova solução particular:
  3. Substituindo na equação diferencial:
    Fatorando :
    Agrupando os termos com :
  4. Como é uma raiz da equação auxiliar: Sabemos que , então o termo com desaparece, restando:
  5. Por que : Se fosse verdade que , então , o que tornaria indefinido (divisão por zero). Porém, isso não é possível porque é uma raiz da equação auxiliar e estamos assumindo que ela tem multiplicidade um, garantindo que .

Passo 4

Parte ©: Se é uma raiz da equação auxiliar de multiplicidade dois, mostrar que podemos encontrar uma solução particular da forma , onde .
Como resolver:
  1. Quando é uma raiz dupla: Se é uma raiz com multiplicidade dois, precisamos multiplicar por para evitar qualquer sobreposição com as soluções homogêneas. Assim, assumimos .
  2. Derivando a solução particular:
  3. Substituindo na equação diferencial:
    Fatorando :
    Agrupando os termos:
  4. Como é uma raiz dupla da equação auxiliar: Sabemos que , então o termo com some, restando:

Resposta

(a) A solução particular é .
(b) A solução particular é e sabemos que .
© A solução particular é .

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