In Problems 46 and 47 find a particular solution of the given differential equation. Use a CAS as an aid in carrying out differentiations, simplifications, and algebra
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de quarta ordem:
O objetivo é encontrar uma solução particular para essa equação. Para isso, vamos precisar entender equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e utilizar o método dos coeficientes indeterminados. Também veremos como lidar com termos que se repetem na solução homogênea.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, encontramos as raízes da equação característica. Suponha que a solução seja da forma
. Substituindo na equação homogênea:
Como
nunca é zero, resolvemos:
Isso é uma equação quadrática em
. Seja
:
Então,
, o que dá:
Cada raiz tem multiplicidade 2, então a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução particular
da equação não homogênea:
Observamos que os termos do lado direito são
e
. Precisamos escolher formas adequadas para
que não estejam na solução homogênea
.
Passo 4
Para o termo
, como
já está na solução homogênea, devemos multiplicar por
para evitar duplicação. Proponha:
Para o termo
, observamos que
também está na solução homogênea, então multiplicamos por
novamente:
Então, a solução particular completa é:
Passo 5
Agora, vamos derivar
até a quarta ordem e substituir na equação original para determinar os coeficientes
.
Após calcular as derivadas e substituir na equação, agrupamos os termos semelhantes e igualamos os coeficientes dos termos
e
de ambos os lados.
Resolvendo o sistema resultante, encontramos:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
In Problems 37-40 solve the given boundary-value problem.
Derive as seguintes funções:
Consider the differential equation
, where
, and
are constants. The auxiliary equation of the associated homogeneous equation is
.
(a) If is not a root of the auxiliary equation, show that we can find a particular solution of the form
, where
.
(b) If is a root of the auxiliary equation of multiplicity one, show that we can find a particular solution of the form
, where
. Explain how we know that
.
© If is a root of the auxiliary equation of multiplicity two, show that we can find a particular solution of the form
, where
.
(a) If
(b) If
© If