In Problems 46 and 47 find a particular solution of the given differential equation. Use a CAS as an aid in carrying out differentiations, simplifications, and algebra

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de quarta ordem:
O objetivo é encontrar uma solução particular para essa equação. Para isso, vamos precisar entender equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e utilizar o método dos coeficientes indeterminados. Também veremos como lidar com termos que se repetem na solução homogênea.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, encontramos as raízes da equação característica. Suponha que a solução seja da forma . Substituindo na equação homogênea:
Como nunca é zero, resolvemos:
Isso é uma equação quadrática em . Seja :
Então, , o que dá:
Cada raiz tem multiplicidade 2, então a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução particular da equação não homogênea:
Observamos que os termos do lado direito são e . Precisamos escolher formas adequadas para que não estejam na solução homogênea .

Passo 4

Para o termo , como já está na solução homogênea, devemos multiplicar por para evitar duplicação. Proponha:
Para o termo , observamos que também está na solução homogênea, então multiplicamos por novamente:
Então, a solução particular completa é:

Passo 5

Agora, vamos derivar até a quarta ordem e substituir na equação original para determinar os coeficientes .
Após calcular as derivadas e substituir na equação, agrupamos os termos semelhantes e igualamos os coeficientes dos termos e de ambos os lados.
Resolvendo o sistema resultante, encontramos:

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

In Problems 37-40 solve the given boundary-value problem.
Derive as seguintes funções:
Consider the differential equation , where , and are constants. The auxiliary equation of the associated homogeneous equation is .
(a) If is not a root of the auxiliary equation, show that we can find a particular solution of the form , where .
(b) If is a root of the auxiliary equation of multiplicity one, show that we can find a particular solution of the form , where . Explain how we know that .
© If is a root of the auxiliary equation of multiplicity two, show that we can find a particular solution of the form , where .