integral0^2 x cdot e^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral definida de no intervalo de 0 a 2. Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo integral, mais especificamente à integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, a gente precisa escolher quais partes da nossa integral serão e . A escolha certa facilita bastante a resolução.

Passo 3

Vamos escolher:
u = x e dv = e^2x , dx
Com isso, precisamos encontrar du = dx e v = integral e^2x , dx = e^2x2 e . Derivando e integrando , temos:

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x cdot e^2x , dx = u cdot v - integral v , du = x cdot e^2x2 - integral e^2x2 , dx
Simplificando a segunda integral:
= x cdot e^2x2 - 12 integral e^2x , dx

Passo 5

Vamos integrar integral e^2x , dx = e^2x2 novamente:
= x cdot e^2x2 - 12 cdot e^2x2 = x cdot e^2x2 - e^2x4
Substituindo de volta:
= e^2x ( x2 - 14 )
Podemos fatorar para simplificar:

Passo 6

Agora, como a integral é definida de 0 a 2, vamos aplicar os limites de integração:
integral0^2 x cdot e^2x , dx = [ e^2x ( x2 - 14 ) ]0^2
Substituindo x = 2:
e^4 ( 22 - 14 ) = e^4 (1 - 14) = e^4 cdot 34
Substituindo x = 0:
e^0 ( 02 - 14 ) = 1 cdot (0 - 14) = -14
Agora, subtraímos o valor em 0 do valor em 2:
34 e^4 - (-14) = 34 e^4 + 14 = 3 e^4 + 14

Resposta

A integral definida de integral0^2 x cdot e^2x , dx = 3 e^4 + 14 de 0 a 2 é:

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