Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral definida de no intervalo de 0 a 2. Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo integral, mais especificamente à integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
Aqui, a gente precisa escolher quais partes da nossa integral serão e . A escolha certa facilita bastante a resolução.

Passo 3

Vamos escolher:
Com isso, precisamos encontrar e . Derivando e integrando , temos:

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando a segunda integral:

Passo 5

Vamos integrar novamente:
Substituindo de volta:
Podemos fatorar para simplificar:

Passo 6

Agora, como a integral é definida de 0 a 2, vamos aplicar os limites de integração:
Substituindo x = 2:
Substituindo x = 0:
Agora, subtraímos o valor em 0 do valor em 2:

Resposta

A integral definida de de 0 a 2 é:

Exercícios relacionados

Consider the differential equation , where , and are constants. The auxiliary equation of the associated homogeneous equation is .
(a) If is not a root of the auxiliary equation, show that we can find a particular solution of the form , where .
(b) If is a root of the auxiliary equation of multiplicity one, show that we can find a particular solution of the form , where . Explain how we know that .
© If is a root of the auxiliary equation of multiplicity two, show that we can find a particular solution of the form , where .
In Problems 46 and 47 find a particular solution of the given differential equation. Use a CAS as an aid in carrying out differentiations, simplifications, and algebra